okrąg wpisany w trapez równoramienny

[Bebeszek]

Witam, pomoże mi ktoś rozwiązać to zadanie:
W trapez równoramienny o podstawach długości 3 cm i 7 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Jak mam to obliczyć? Jakiś wzór czy coś.

Z góry dzięki za pomoc.

[ppolciaa17]

okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy gdy suma przeciwległych boków jest sobie równa..
\(\displaystyle{ a+b=2c}\)
\(\displaystyle{ 3+7=2c}\)
\(\displaystyle{ c=5}\)
następnie wyliczyć wysokość z pitagorasa..
\(\displaystyle{ 2^{2}+h^{2}=5^{2}}\)

i zostało \(\displaystyle{ h=2r}\)

[Bebeszek]

Dzięki, powiesz mi może skąd wziąłeś długość ramion?

[Le_Quack]

Według mojego rozumowania powinno być tak:

\(\displaystyle{ a = 3cm \\ b = 7cm}\)

Wiemy że jeśli czworokąt jest opisany na okręgu to suma dwóch przeciwległych boków jest równa sumie dwóch pozostałych boków, zatem:

\(\displaystyle{ a + b = 2 \cdot c \\ 10 = 2 \cdot c \\ c = 5}\)

Jeśli teraz wyliczymy wysokość, będzie ona średnicą naszego okręgu. Żeby sobie zobrazować, narysuj trapez wraz z dwiema wysokościami. W trapezie równoramiennym wysokości te dzielą podstawę na 3 części, dwie skrajne są takiej samej długości natomiast środkowa ma długość podstawy a. Wyliczmy te skrajne, oznaczmy je jako x:

\(\displaystyle{ b = a + 2 \cdot x \\ 7 = 3 + 2 \cdot x \\ 4 = 2 \cdot x \\ x = 2}\)

Teraz mając nasz x możemy policzyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa wysokość, która jest jednym z boków trójkąta prostokątnego.

\(\displaystyle{ 2^{2} + b^{2} = 5^{2} \\ 4 + b^{2} = 25 \\ b^{2} = 21 \\ b = \sqrt{21}}\)

Promieniem będzie wysokość podzielona przez 2.

\(\displaystyle{ r= \frac{h}{2} = \frac{ \sqrt{21} }{2}}\)

[Quaerens]

Dzięki, powiesz mi może skąd wziąłeś długość ramion?]

\(\displaystyle{ a+b=c+d}\)

-- 3 czerwca 2009, 21:03 --

Le_Quack \(\displaystyle{ a}\) to dłuższa podstawa.

[Bebeszek]

Wielkie dzięki wszystkim!

[Le_Quack]

damianplflow, ups fakt, ale nie będę już zmieniał, ważne że długości są prawidłowo przypisane .