Relacja równoważności - przechodniość

times · Post autor: **times** » 23 lis 2011, o 15:43

Cześć:)
Mam udowodnić równoważność:
Niech \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \approx \left( c,d\right) \leftrightarrow 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( a +b +c+d\right)}\) dla \(\displaystyle{ \left( a, b \right), \left( c , d\right) \in N^2{}}\)
Z zwrotnością i symetrycznością sobie poradziłem. Problem sprawia mi przechodniości.
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) \approx \left( c,d\right) \wedge \left( c,d\right) \approx \left( e,f \right) \Rightarrow \left(2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( a +b +c+d\right) \right) \wedge \left( 2|\left( c+e\right) \wedge 2|\left( e +d +e+f\right) \right) \Rightarrow \left( 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( c+e\right\right) \wedge \left( 2|\left( a +b +c+d\right) \wedge 2|\left( c +d +e+f\right)\right)}\)

Czy to jest w ogóle dobrze? Dalej nie mam pomysłu jak to zrobić.
Czy zmieni się coś gdy \(\displaystyle{ \left( a, b \right), \left( c , d\right) \in Z^2{}}\) ?

Jak znaleźć \(\displaystyle{ N^2{} / \approx}\) ?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 23 lis 2011, o 20:42

Zauważ, że warunek \(\displaystyle{ 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( a +b +c+d\right)}\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( b +d\right)}\). Ten warunek mówi, ze \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są tej samej parzystości oraz \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ d}\) są tej samej parzystości.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 23 lis 2011, o 20:43

273068.htm

Nie mnóżcie tematów dotyczących tego samego zadania (tego samego kolokwium?).

JK

times · Post autor: **times** » 24 lis 2011, o 02:07

norwimaj pisze:Zauważ, że warunek \(\displaystyle{ 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( a +b +c+d\right)}\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ 2|\left( a+c\right) \wedge 2|\left( b +d\right)}\). Ten warunek mówi, ze \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są tej samej parzystości oraz \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ d}\) są tej samej parzystości.

Czyli mogę po prostu dalej zapisać:
\(\displaystyle{ \Rightarrow\left( \left( 2|a+e\right) \wedge \left( 2|a+b+e+f\right) \right) \Rightarrow \left( a, b\right) \approx \left( e, f \right)}\)
Czy nie pominąłem żadnego istotnego kroku?

Jan Kraszewski pisze:https://www.matematyka.pl/273068.htm

Nie mnóżcie tematów dotyczących tego samego zadania (tego samego kolokwium?).

JK

Tak, kolokwium. Jutro, a właściwie już dziś będzie po wszystkim. Damy spokój logice i przenosimy się na dział analizy:)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 24 lis 2011, o 14:56

times pisze:Czyli mogę po prostu dalej zapisać:
\(\displaystyle{ \Rightarrow\left( \left( 2|a+e\right) \wedge \left( 2|a+b+e+f\right) \right) \Rightarrow \left( a, b\right) \approx \left( e, f \right)}\)
Czy nie pominąłem żadnego istotnego kroku?

Nie możesz. Pominąłeś kluczowy krok - nie pokazałeś, dlaczego \(\displaystyle{ 2|(a+c)\land 2|(c+e) \Rightarrow 2|(a+e)}\) i to samo na drugiej współrzędnej.

JK

times · Post autor: **times** » 24 lis 2011, o 15:15

Jan Kraszewski pisze: Nie możesz. Pominąłeś kluczowy krok - nie pokazałeś, dlaczego \(\displaystyle{ 2|(a+c)\land 2|(c+e) \Rightarrow 2|(a+e)}\) i to samo na drugiej współrzędnej.

JK

Właśnie z tym mam największy problem. Nie mam pomysłu jak to zrobić.

Czy klasy abstrakcji zmienią się gdy zmienimy zbór z \(\displaystyle{ N^{2}}\) na \(\displaystyle{ Z^{2}}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 24 lis 2011, o 15:49

Klasy abstrakcji - oczywiście tak, to będą inne zbiory. Zasada ich powstawania - nie. Będzie ich tyle samo i będą powstawały w ten sam sposób.

A w dowodzie skorzystaj np. z def. podzielności.

JK