Witam, nie wiem jaki to dział fizyki, zadanie jest z geodezji satelitarnej, ale z tego co jest na ćwiczeniach to praktycznie widze sama fizyka czysta. Wiec proszę o pomoc w jego rozwiązaniu ponieważ nie wiem jak się za nie zabrać.
oto treść:
Dwie jednakowe masy \(\displaystyle{ m=(400+k)kg}\), (\(\displaystyle{ k}\) to moj nr. wiec nieprzejmować się) znajdujące sie w odległości \(\displaystyle{ d=100km}\) pozostają nieruchome względem jednowymiarowego układu odniesienia, którego początek znajduje sie w środku ciężkości jednej z mas a oś układu przechodzi przez środek ciężkości drugiej masy. Zakładając że prędkości początkowe mas względem tego układu są zerowe oblicz czas po jakim dojdzie do ich zderzenia jeżeli ich promienie wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{1000}}\) odległości \(\displaystyle{ d}\). Po jakim czasie dojdzie do zderzenia tych mas oraz jakie będą ich prędkości jeżeli bedą one punktowe?
Wyzwanie z fizyki, geodezji satelitarnej
-
dd0_0bb
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 6 sty 2008, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biłgoraj
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Wyzwanie z fizyki, geodezji satelitarnej
Ostatnio zmieniony 21 lis 2011, o 22:44 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Wyzwanie z fizyki, geodezji satelitarnej
Porównaj siłę grawitacji z wzorem na siłę w postaci pochodnej względem czasu i rozwiąż równanie różniczkowe drugiego rzędu, sprowadzalne chyba tutaj do równania pierwszego rzędu.
-
dd0_0bb
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 6 sty 2008, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biłgoraj
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Wyzwanie z fizyki, geodezji satelitarnej
witaj kolego, własnie problem w tym ze gdybym umiał to od a do zet zrobić to bym nie prosił o pomoc:) dlatego tu pisze o pomoc do was...
Wyzwanie z fizyki, geodezji satelitarnej
Ciało A znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ x _{A}\left( 0\right) = 0}\), ciało B jest w punkcie \(\displaystyle{ x _{B}\left( 0\right) = d}\), zaś w dowolnej chwili t zbliżania się do siebie na ciała działają siły o wartościach:
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = \frac{Gm _{A}m _{B}}{r _{AB} ^{2}\left( t\right)} = \frac{Gmm}{\left[x _{B}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}}}\)
\(\displaystyle{ F _{B}\left( t\right) = \frac{Gm _{A}m _{B}}{r _{AB} ^{2}\left( t\right)} = \frac{Gmm}{\left[x _{B}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}}}\)
Zauważmy, że :
\(\displaystyle{ x _{B}\left( t\right) = d - x _{A}\left( t\right)}\)
skąd mamy:
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = F _{B}\left( t\right) = \frac{Gmm}{\left[d - x _{A}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}} = \frac{Gmm}{\left[d - 2 x _{A}\left( t\right) \right]^{2}}}\)
Masy spotkają się w takim miejscu, że powierzchnie ciał będą się stykać w punkcie leżącym w połowie odległości d, a więc po szukanym czasie \(\displaystyle{ t _{max}}\) mamy:
\(\displaystyle{ x _{A}\left( t _{max} \right) = \frac{1}{2} d - R _{A} = \frac{1}{2} d - \frac{1}{1000} d}\)
\(\displaystyle{ x _{B}\left( t _{max} \right) = \frac{1}{2} d + R _{B} = \frac{1}{2} d + \frac{1}{1000} d}\)
Oprócz tego mamy
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = \frac{dp}{dt}}\)
co przy stałej masie daje zależność:
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = m \frac{dv}{dt} = m \cdot a _{A}\left( t\right)}\)
a w arunkach zadania również otrzymujemy
\(\displaystyle{ F _{B}\left( t\right) = F _{A}\left( t\right) = m \frac{dv}{dt} = m \cdot a _{A}\left( t\right)}\).
Ponieważ w tym przypadku dla ciała A
\(\displaystyle{ v\left( t\right) = \frac{dx}{dt}}\),
dlatego wspomniane dwa równania interesujące nas najbardziej to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} F_{A}\left(t\right) = \frac{Gmm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} \\ \\ F_{A}\left(t\right) = m \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Gmm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = m \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Gm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}}}\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu, sprowadzalne do równania różniczkowego pierwszego rzędu (bo jest szukana funkcja i jej druga pochodna względem czasu, a nie ma pochodnej pierwszego rzędu), przez podstawienie (wstawiajmy dla zwiekszenia szybkości pisania x zamiast \(\displaystyle{ x _{A}}\)):
\(\displaystyle{ q\left(x\right) = \frac{dx}{dt} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = q\left(x\right) \cdot \frac{dq}{dx}}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{Gm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{Gm}{\left(d - 2 x\right)^{2}} = q\left(x\right) \cdot \frac{dq}{dx}}\)
Sporo pracy rachunkowej od tego momentu.
Zależność v(x) znalazłem szybko, ale x(t) o wiele trudniej będzie. Trzeba poszukać dobrego podstawienia do całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx}\)
Podstawiłem
\(\displaystyle{ u(x) = \sqrt{d - 2x}}\)
i otrzymałem mało zadowalającą postać
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{d - u ^{2}}}du = - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{\left(\sqrt{d}\right)^{2} - u ^{2}}}du}\)
którą dalej trzeba przez kolejne podstawienie rozwiązywać, na przykład takie:
\(\displaystyle{ u = \sqrt{d} \cdot \sin z \ \ \ \ \ \sqrt{\left(\sqrt{d}\right)^{2} - u ^{2}} = \sqrt{d} \cdot \cos z \ \ \ \ \ du = sqrt{d} \cdot \cos z \cdot dz}\)
które daje całkę
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{d - u ^{2}}}du = - \sqrt{2} \int \frac{d \cdot \sin ^{2} z }{\sqrt{d} \cdot \cos z } \cdot \sqrt{d} \cdot \cos z \cdot dz = - \sqrt{2} \int d \cdot \sin ^{2} z \cdot dz = \\ \\ \\ = - \sqrt{2} \cdot d \cdot \int \sin ^{2} z \cdot dz = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \cdot \int \left[ 1 - \cos \left( 2z\right)\right] \cdot dz = \\ \\ \\ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left[ z - \frac{1}{2} \cdot \sin \left(2z\right)\ \right] - C _{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{u}{ \sqrt{d} } - \sin z \cdot \cos z \right) - C _{2} = \\ \\ \\ =
- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{u}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{u}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{d - u ^{2}}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2} = \\ \\ \\ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2}}\)
Mamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx = \int \sqrt{ \frac{2Gm}{d}} \cdot dt}\)
\(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) = \sqrt{ \frac{2Gm}{d}} \cdot t + C _{2}}\)
Z ostatniej zależności próbujemy wyznaczyć postać funkcji \(\displaystyle{ x\left( t\right) = x _{A}\left( t\right)}\), choć nie wiem czy jakąś "zgrabną" formę uda się z tego wyczarować.
W rachunkach nie wpisalem wszystkich obliczeń z kartki - mianowicie jak doszedłem do równania
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx = \int \sqrt{ \frac{2Gm}{d}}dt}\).
Może uzupełnię wkrótce.
Sytuacja rachunkowa jest tu dobra, bo wprawdzie nie uda się wyznaczyć prostej zalezności x(t), ale nie jest ona potrzebna, bo pytanie jest o \(\displaystyle{ t _{max}}\), więc bardziej zależeć nam powinno na zależności t(x), a ją mamy, i to w znośnej formie, a nawet bardzo dobrej:
\(\displaystyle{ t\left( x\right) = \sqrt{ \frac{d}{2Gm}} \cdot \left[ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2} \right]}\)
gdzie stałą \(\displaystyle{ C _{2}}\) wyznaczyć można z warunku \(\displaystyle{ x(0) = 0}\), a następnie obliczamy \(\displaystyle{ t _{max}}\) dla
\(\displaystyle{ x _{max} = \frac{1}{2} d - \frac{1}{1000} d = \frac{499}{500} d}\).
Dla przypadku mas punktowych mamy
\(\displaystyle{ x _{max} = \frac{1}{2} d}\)
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = \frac{Gm _{A}m _{B}}{r _{AB} ^{2}\left( t\right)} = \frac{Gmm}{\left[x _{B}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}}}\)
\(\displaystyle{ F _{B}\left( t\right) = \frac{Gm _{A}m _{B}}{r _{AB} ^{2}\left( t\right)} = \frac{Gmm}{\left[x _{B}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}}}\)
Zauważmy, że :
\(\displaystyle{ x _{B}\left( t\right) = d - x _{A}\left( t\right)}\)
skąd mamy:
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = F _{B}\left( t\right) = \frac{Gmm}{\left[d - x _{A}\left( t\right) - x _{A}\left( t\right)\right]^{2}} = \frac{Gmm}{\left[d - 2 x _{A}\left( t\right) \right]^{2}}}\)
Masy spotkają się w takim miejscu, że powierzchnie ciał będą się stykać w punkcie leżącym w połowie odległości d, a więc po szukanym czasie \(\displaystyle{ t _{max}}\) mamy:
\(\displaystyle{ x _{A}\left( t _{max} \right) = \frac{1}{2} d - R _{A} = \frac{1}{2} d - \frac{1}{1000} d}\)
\(\displaystyle{ x _{B}\left( t _{max} \right) = \frac{1}{2} d + R _{B} = \frac{1}{2} d + \frac{1}{1000} d}\)
Oprócz tego mamy
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = \frac{dp}{dt}}\)
co przy stałej masie daje zależność:
\(\displaystyle{ F _{A}\left( t\right) = m \frac{dv}{dt} = m \cdot a _{A}\left( t\right)}\)
a w arunkach zadania również otrzymujemy
\(\displaystyle{ F _{B}\left( t\right) = F _{A}\left( t\right) = m \frac{dv}{dt} = m \cdot a _{A}\left( t\right)}\).
Ponieważ w tym przypadku dla ciała A
\(\displaystyle{ v\left( t\right) = \frac{dx}{dt}}\),
dlatego wspomniane dwa równania interesujące nas najbardziej to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} F_{A}\left(t\right) = \frac{Gmm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} \\ \\ F_{A}\left(t\right) = m \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Gmm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = m \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Gm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}}}\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu, sprowadzalne do równania różniczkowego pierwszego rzędu (bo jest szukana funkcja i jej druga pochodna względem czasu, a nie ma pochodnej pierwszego rzędu), przez podstawienie (wstawiajmy dla zwiekszenia szybkości pisania x zamiast \(\displaystyle{ x _{A}}\)):
\(\displaystyle{ q\left(x\right) = \frac{dx}{dt} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = q\left(x\right) \cdot \frac{dq}{dx}}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{Gm}{\left[d - 2 x_{A}\left( t\right) \right]^{2}} = \frac{d^{2}x _{A}}{dt^{2}} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{Gm}{\left(d - 2 x\right)^{2}} = q\left(x\right) \cdot \frac{dq}{dx}}\)
Sporo pracy rachunkowej od tego momentu.
Zależność v(x) znalazłem szybko, ale x(t) o wiele trudniej będzie. Trzeba poszukać dobrego podstawienia do całki:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx}\)
Podstawiłem
\(\displaystyle{ u(x) = \sqrt{d - 2x}}\)
i otrzymałem mało zadowalającą postać
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{d - u ^{2}}}du = - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{\left(\sqrt{d}\right)^{2} - u ^{2}}}du}\)
którą dalej trzeba przez kolejne podstawienie rozwiązywać, na przykład takie:
\(\displaystyle{ u = \sqrt{d} \cdot \sin z \ \ \ \ \ \sqrt{\left(\sqrt{d}\right)^{2} - u ^{2}} = \sqrt{d} \cdot \cos z \ \ \ \ \ du = sqrt{d} \cdot \cos z \cdot dz}\)
które daje całkę
\(\displaystyle{ - \sqrt{2} \int \frac{u ^{2}}{\sqrt{d - u ^{2}}}du = - \sqrt{2} \int \frac{d \cdot \sin ^{2} z }{\sqrt{d} \cdot \cos z } \cdot \sqrt{d} \cdot \cos z \cdot dz = - \sqrt{2} \int d \cdot \sin ^{2} z \cdot dz = \\ \\ \\ = - \sqrt{2} \cdot d \cdot \int \sin ^{2} z \cdot dz = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \cdot \int \left[ 1 - \cos \left( 2z\right)\right] \cdot dz = \\ \\ \\ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left[ z - \frac{1}{2} \cdot \sin \left(2z\right)\ \right] - C _{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{u}{ \sqrt{d} } - \sin z \cdot \cos z \right) - C _{2} = \\ \\ \\ =
- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{u}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{u}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{d - u ^{2}}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2} = \\ \\ \\ = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2}}\)
Mamy ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx = \int \sqrt{ \frac{2Gm}{d}} \cdot dt}\)
\(\displaystyle{ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) = \sqrt{ \frac{2Gm}{d}} \cdot t + C _{2}}\)
Z ostatniej zależności próbujemy wyznaczyć postać funkcji \(\displaystyle{ x\left( t\right) = x _{A}\left( t\right)}\), choć nie wiem czy jakąś "zgrabną" formę uda się z tego wyczarować.
W rachunkach nie wpisalem wszystkich obliczeń z kartki - mianowicie jak doszedłem do równania
\(\displaystyle{ \int \frac{ \sqrt{d - 2x}}{ \sqrt{x}}dx = \int \sqrt{ \frac{2Gm}{d}}dt}\).
Może uzupełnię wkrótce.
Sytuacja rachunkowa jest tu dobra, bo wprawdzie nie uda się wyznaczyć prostej zalezności x(t), ale nie jest ona potrzebna, bo pytanie jest o \(\displaystyle{ t _{max}}\), więc bardziej zależeć nam powinno na zależności t(x), a ją mamy, i to w znośnej formie, a nawet bardzo dobrej:
\(\displaystyle{ t\left( x\right) = \sqrt{ \frac{d}{2Gm}} \cdot \left[ - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot d \cdot \left( \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} - \arcsin \frac{\sqrt{d - 2x}}{\sqrt{d}} \cdot \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{d}} \right) - C _{2} \right]}\)
gdzie stałą \(\displaystyle{ C _{2}}\) wyznaczyć można z warunku \(\displaystyle{ x(0) = 0}\), a następnie obliczamy \(\displaystyle{ t _{max}}\) dla
\(\displaystyle{ x _{max} = \frac{1}{2} d - \frac{1}{1000} d = \frac{499}{500} d}\).
Dla przypadku mas punktowych mamy
\(\displaystyle{ x _{max} = \frac{1}{2} d}\)