baza przestrzeni, współrzędne wektora,układ jednorodny.

[madaf007]

Mam trzy zadanka:


1.Niech \(\displaystyle{ R_2\[x\]}\) będzie przestrzenią liniowa wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 2}\). Pokaż, że wektory (wielomiany) 1, 1 + x, 1 + x + x2 są baza tej przestrzeni i znajdź współrzędne wektora\(\displaystyle{ 3 + x + 8x^2}\) w tej bazie.
Bierzemy trzy wektory
\(\displaystyle{ V_1=1\\
V_2=x+1\\
V_3=x^2+x+1}\)
Bierzemy to co przy \(\displaystyle{ x^2}\). Zatem \(\displaystyle{ \gamma = 0}\)
Przy x: \(\displaystyle{ \beta + \gamma=0}\)
Przy \(\displaystyle{ x^0}\):\(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=0}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\) Więc te wektory są liniowo niezależne więc są bazą tej przestrzeni.

\(\displaystyle{ V=3+x+8x^2}\)
\(\displaystyle{ \gamma=8\\
\beta+\gamma=1\\
\alpha+\beta+\gamma=3}\)
Zatem \(\displaystyle{ \gamma=8,\beta=-7,\alpha=2}\).

2 zadanie:

Nie rozwiązując poniższego układu równań liniowych niejednorodnych określ liczbę parametrów,
od których zależy rozwiązanie ogólne i podaj fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego
mu układu jednorodnego (czyli bazę podprzestrzeni rozwiązań układu równań liniowych
jednorodnych):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1-2x_2-x_3=-2\\3x_1-4x_2-9x_3=4\\5x_1-9x_2-8x_3=-5\end{cases}}\)
Według mnie rozwiązanie ogólne zależy od 3 parametrów: n-liczba parametrów rozwiązań, r=rank A i s=rank A|b. Rząd macierzy A wyszedł mi 2 i taki sam wychodzi dla A|b. n=3 Więc n-r=1 zatem układ ma jedno rozwiązanie.
Czy o to w tym chodziło?

3 zadanie:

Niech U będzie przestrzenią liniową, a układ wektorów \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, u_4}\) - bazą tej przestrzeni.
a) Niech f będzie przekształceniem liniowym przestrzeni U w U takim, ze \(\displaystyle{ f(u_k) = v_k}\)
dla k = 1, 2, 3, 4, gdzie \(\displaystyle{ v_1 = u_1 +u_2, v_2 = u_2 +u_3, v_3 = u_3 +u_4, v_4 = u_1 +u_4}\). Podaj macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, u_4}\).
b)wyznacz wymiar jadra dla przekształcenia f określonego w poprzednim punkcie.

ad.a)
\(\displaystyle{ f(u_1)=v_1=u_1+u_2\\
f(u_2)-v_2=u_2+u_3\\
f(u_3)=v_3=u_3+u_4\\
f(u_4)=v_4=u_1+u_4}\)
Czy ta macierz będzie wyglądać tak?:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)

I jak policzyć to jądra?
Proszę o pomoc:)

[Kamil_B]

Zad. 1
Jest ok, ale wypadałoby cos jeszcze wspomnieć o tym, że istotnie te wektory generują całą przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[x]}\).
W tym celu wystarczy zauwazyć, że \(\displaystyle{ V_{1}=1, V_{2}-V_{1}=x}\) oraz \(\displaystyle{ V_{3}-V_{2}=x^{2}}\) a do wygenerowania dowolnego wielomianu z \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[x]}\) potrzeba właśnie \(\displaystyle{ 1,x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Zad. 2
Rzedy policzyłeś dobrze, ale ten wniosek:

Więc n-r=1 zatem układ ma jedno rozwiązanie

jest zły.
Powinno być: zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r=1 parametru.
Teraz ustalasz sobie jedną z niewiadomych jako parametr i wyznaczasz pozostałe w zależności od niej.
Co do fundamentalnego układu rozwiązań:

Ukryta treść:    

Masz jakieś rozwiązanie układu jednorodnego, powiedzmy takie(pewnie jest inne ale chodzi o metodę :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2x_{3} \\ x_{2}=x_{3} \\x_{3}=x_{3} \end{cases}}\)

Stąd rozwiąznie ogólne to trójka liczb:

\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{3},x_{3},x_{3})=x_{3}(2,1,0)}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{3} \in \mathbb{R}}\) jest parametrem

Wtedy fundamentalny układ rozwiązań to \(\displaystyle{ Lin \{ (2,1,0) \}}\) (bo wszystkie inne rozwiązania to kombinacje tego jednego wektora)

Zad. 3
Luknij tutaj: https://matematyka.pl/163747.htm.

[madaf007]

Nie miałem czasu wcześniej wrócić do tego zadania. Mam jeszcze pytanie odnośnie właśnie tego 3. Jak wyznaczyć tą dziedzinę i ten obraz, żeby obliczyć wymiar jądra? I jeszcze mam podobne zadanie do tego 3 w podpunkcie a).

Niech U będzie przestrzenią liniową, a układ wektorów \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, u_4}\) - bazą tej przestrzeni. Niech \(\displaystyle{ v_1 = u_1 +u_2, v_2 = u_2 +u_3, v_3 = u_3 +u_4, v_4 = u_1 +u_4}\). Sprawdzić czy układ wektorów \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3,v_4}\) jest liniowo zależny.

Czy to wystarczy wziąć te "współczynniki" stojące przy \(\displaystyle{ u_i}\)?
Zatem \(\displaystyle{ \alpha+\gamma=0 \Rightarrow \alpha=-\gamma\\
\alpha+\beta=0 \Rightarrow -\gamma=-\beta \Rightarrow \gamma=\beta\\
\beta+\delta=0 \Rightarrow \gamma=-\delta\\
\delta+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-\delta}\)

Zatem z tego widać, że któryś ze współczynników jest różny od zera więc układ jest liniowo zależny? Jest jakiś inny sposób? na to?

[OperatorG]

Zad. 1
Jest ok, ale wypadałoby cos jeszcze wspomnieć o tym, że istotnie te wektory generują całą przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[x]}\).
W tym celu wystarczy zauwazyć, że \(\displaystyle{ V_{1}=1, V_{2}-V_{1}=x}\) oraz \(\displaystyle{ V_{3}-V_{2}=x^{2}}\) a do wygenerowania dowolnego wielomianu z \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[x]}\) potrzeba właśnie \(\displaystyle{ 1,x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}}\)

Zad. 2
Rzedy policzyłeś dobrze, ale ten wniosek:

Więc n-r=1 zatem układ ma jedno rozwiązanie

jest zły.
Powinno być: zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r=1 parametru.
Teraz ustalasz sobie jedną z niewiadomych jako parametr i wyznaczasz pozostałe w zależności od niej.
Co do fundamentalnego układu rozwiązań:

Ukryta treść:    

Masz jakieś rozwiązanie układu jednorodnego, powiedzmy takie(pewnie jest inne ale chodzi o metodę :

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=2x_{3} \\ x_{2}=x_{3} \\x_{3}=x_{3} \end{cases}}\)

Stąd rozwiąznie ogólne to trójka liczb:

\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{3},x_{3},x_{3})=x_{3}(2,1,0)}\) gdzie \(\displaystyle{ x_{3} \in \mathbb{R}}\) jest parametrem

Wtedy fundamentalny układ rozwiązań to \(\displaystyle{ Lin \{ (2,1,0) \}}\) (bo wszystkie inne rozwiązania to kombinacje tego jednego wektora)

Zad. 3
Luknij tutaj: https://matematyka.pl/163747.htm.

nie powinno być
Lin { (2,1,1) } ?