Mam sześć podpunktów do zrobienia i prosiłbym o sprawdzenie tych, które zrobiłem i prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu pozostałych. Z góry wielkie dzięki.
Oblicz granice ciągów:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n- \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{n ^{2}-n ^{2}+1 }{n- \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{1}{n- \sqrt{n ^{2}-n } } = \frac{0}{0} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n ^{6}-1 }{6n ^{6}-3n ^{4} } = \frac{5}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+sinn}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{2-3n} \le \frac{4n+sinn}{2-3n} \le \frac{4n+1}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3} \le \frac{4n+sinn}{2-3n} \le- \frac{4}{3}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} \cdot n } +1 = ???}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4+n ^{2} }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = ???}\)
f) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = ???}\)
Oblicz granice ciągów
Oblicz granice ciągów
Ostatnio zmieniony 20 lis 2011, o 12:30 przez tom1818, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Tomek_Z
- Użytkownik
- Posty: 807
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 14:39
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 181 razy
Oblicz granice ciągów
a) \(\displaystyle{ \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n- \sqrt{n ^{2}-n } } = n +\sqrt{n ^{2} -n}}\) więc coś nie tak... Licznik i mianownik pomnóż przez \(\displaystyle{ n + \sqrt{n ^{2} -n}}\)
b,c - ok
d - zależy z czego możemy skorzystać. Łatwo można pokazać, że \(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1}\)
e - skorzystaj z tego, że jest to pewien podciąg ciągu \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n} )^n}\) a tą granicę zapewne już znasz.
f-wzór na sume ciągu arytmetycznego w liczniku i mianowniku. Do policzenia zostanie prosta granica ilorazu wielomianów.
b,c - ok
d - zależy z czego możemy skorzystać. Łatwo można pokazać, że \(\displaystyle{ n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1}\)
e - skorzystaj z tego, że jest to pewien podciąg ciągu \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{n} )^n}\) a tą granicę zapewne już znasz.
f-wzór na sume ciągu arytmetycznego w liczniku i mianowniku. Do policzenia zostanie prosta granica ilorazu wielomianów.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2011, o 12:19 przez Tomek_Z, łącznie zmieniany 1 raz.
Oblicz granice ciągów
A więc jeśli chodzi o podpunkt a to tak ma być:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \frac{1}{1+1-\frac{1}{n} } =\frac{1}{2}}\)
???
masz rację piesek101 nie zauważyłem powinno być faktycznie minus \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \frac{1}{1+1-\frac{1}{n} } =\frac{1}{2}}\)
???
masz rację piesek101 nie zauważyłem powinno być faktycznie minus \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2011, o 12:32 przez tom1818, łącznie zmieniany 1 raz.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23518
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3271 razy
Oblicz granice ciągów
W zasadzie ok - bo Ci pierwiastek w mianowniku za wcześnie zniknął i (-) zamiast (+) przed \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
[edit] I ,,limesów" nie piszesz.
[edit] I ,,limesów" nie piszesz.
Oblicz granice ciągów
A więc podsumowując, czy są tu jeszcze jakieś błędy czy te trzy są już na 100% dobrze:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty }\frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+1-\frac{ \sqrt{n} }{n} } =\frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n ^{6}-1 }{6n ^{6}-3n ^{4} } = \frac{5}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+ \sin n }{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{2-3n} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le \frac{4n+1}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le- \frac{4}{3}}\)
???
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty }\frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+1-\frac{ \sqrt{n} }{n} } =\frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n ^{6}-1 }{6n ^{6}-3n ^{4} } = \frac{5}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+ \sin n }{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{2-3n} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le \frac{4n+1}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le- \frac{4}{3}}\)
???
Ostatnio zmieniony 21 lis 2011, o 18:37 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23518
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3271 razy
Oblicz granice ciągów
a) brak pierwiastka (tam pod koniec) w mianowniku.
b) ok - chociaż często chcą aby to obliczyć
c) ok, a było można też tak jak pisałem w moim pierwszym, szło od razu.
b) ok - chociaż często chcą aby to obliczyć
c) ok, a było można też tak jak pisałem w moim pierwszym, szło od razu.
Oblicz granice ciągów
Ok dzięki za pomoc. Czyli trzy już mam ale jeszcze trzy...
A ten przykład dobrze myślę???
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} \cdot n } +1 = \lim_{ n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{1 ^{n} \cdot n }+1 = \lim_{n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{n} +1 = 4 \cdot 1+1=5}\)
Dobrze to jest???
A ten przykład dobrze myślę???
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} \cdot n } +1 = \lim_{ n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{1 ^{n} \cdot n }+1 = \lim_{n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{n} +1 = 4 \cdot 1+1=5}\)
Dobrze to jest???
Oblicz granice ciągów
A więc podsumowując jeszcze raz, czy są tu jeszcze jakieś błędy czy te trzy są już na 100% dobrze:
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty }\frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+ \sqrt{1-\frac{ 1 }{n}} } =\frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n ^{6}-1 }{6n ^{6}-3n ^{4} } = \frac{5}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+ \sin n }{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{2-3n} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le \frac{4n+1}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le- \frac{4}{3}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} \cdot n } +1 = \lim_{ n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{1 ^{n} \cdot n }+1 = \lim_{n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{n} +1 = 4 \cdot 1+1=5}\)
A pytanie co z tymi...
Tu nie umiem sobie poradzić... :/
Chodzi mi o te dwa przykłady:
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4+n ^{2} }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = ???}\)
f) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = ???}\)
a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n - \sqrt{n ^{2} -n} = \lim_{ n\to \infty } \frac{(n- \sqrt{n ^{2}-n} ) \cdot (n+ \sqrt{n ^{2}-n }) }{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty } \frac{n ^{2}-n ^{2}+n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } }= \lim_{ n\to \infty }\frac{n}{n+ \sqrt{n ^{2}-n } } = \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{1+ \sqrt{1-\frac{ 1 }{n}} } =\frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n ^{6}-1 }{6n ^{6}-3n ^{4} } = \frac{5}{6}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{4n+ \sin n }{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{2-3n} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le \frac{4n+1}{2-3n}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{4}{3} \le \frac{4n+ \sin n }{2-3n} \le- \frac{4}{3}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} \cdot n } +1 = \lim_{ n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{1 ^{n} \cdot n }+1 = \lim_{n\to \infty } 4 \cdot \sqrt[n]{n} +1 = 4 \cdot 1+1=5}\)
A pytanie co z tymi...
Tu nie umiem sobie poradzić... :/
Chodzi mi o te dwa przykłady:
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4+n ^{2} }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = ???}\)
f) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = ???}\)
Ostatnio zmieniony 21 lis 2011, o 18:38 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.
Oblicz granice ciągów
A więc ten przykład bedzie tak wyglądał???
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4+n ^{2} }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = \lim_{n \to \infty }\left( \frac{n ^{2}-1+5 }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = \lim_{ n\to \infty } \left( \left( 1+ \frac{5}{n ^{2} -1} \right) ^{n ^{2}-1 } \right) ^{ \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2}-1 } }=\left( e ^{5}\right) ^{1} =e ^{5}}\)
Ale co do tego to nadal nie wiem jak go ugryźć... :/ Nie bardzo wiem o co chodzi z tym ciągiem arytmetycznym może to ktoś rozpisać proszę...!!!???
f) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = ???}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{4+n ^{2} }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = \lim_{n \to \infty }\left( \frac{n ^{2}-1+5 }{n ^{2}-1 } \right) ^{n ^{2} +3} = \lim_{ n\to \infty } \left( \left( 1+ \frac{5}{n ^{2} -1} \right) ^{n ^{2}-1 } \right) ^{ \frac{n ^{2}+3 }{n ^{2}-1 } }=\left( e ^{5}\right) ^{1} =e ^{5}}\)
Ale co do tego to nadal nie wiem jak go ugryźć... :/ Nie bardzo wiem o co chodzi z tym ciągiem arytmetycznym może to ktoś rozpisać proszę...!!!???
f) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = ???}\)
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23518
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3271 razy
Oblicz granice ciągów
e) ok.
f) jest wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego - ,,nim" da się zwinąć licznik i mianownik, będzie ,,normalna" granica.
Ale to zadanie dla Ciebie (szukaj wzoru i działaj) - sprawdzimy, podpowiemy.
f) jest wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego - ,,nim" da się zwinąć licznik i mianownik, będzie ,,normalna" granica.
Ale to zadanie dla Ciebie (szukaj wzoru i działaj) - sprawdzimy, podpowiemy.
Oblicz granice ciągów
Udało mi się wpaść tylko na to:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{(1+2n-1) \cdot n}{2} }{ \frac{(2+2n) \cdot n}{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2n ^{2} }{2n+2n ^{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{ \frac{2}{n}+2 } = \frac{2}{2} =1}\)
Nie mam pojęcia czy to jest dobrze rozwiązane i czy zapisane też jest poprawnie??? Proszę o sprawdzenie i poprawienie jeśli jest coś źle z góry wielkie dzięki.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{2+4+6+...+2n} = \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{(1+2n-1) \cdot n}{2} }{ \frac{(2+2n) \cdot n}{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2n ^{2} }{2n+2n ^{2} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{ \frac{2}{n}+2 } = \frac{2}{2} =1}\)
Nie mam pojęcia czy to jest dobrze rozwiązane i czy zapisane też jest poprawnie??? Proszę o sprawdzenie i poprawienie jeśli jest coś źle z góry wielkie dzięki.
