Mam niewłaściwą f-cję wymierną postaci \(\displaystyle{ \frac{ x^{5} }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) }}\), którą chcę rozłożyć na ułamki proste. Gdyby nie było \(\displaystyle{ \left( x-3\right)}\) dzieliłabym licznik przez mianownik,żeby otrzymać sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej, ale niestety jest to \(\displaystyle{ \left( x-3\right)}\) w mianowniku. Zatem rozpisałam to na iloczyn 2 ułamków: \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} }{x-3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ x^{3} }{ x^{2}-2x+4 }}\),podzieliłam liczniki przez mianowniki i otrzymałam: \(\displaystyle{ \left( x+3\right)+ \frac{9}{x-3}}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x+2\right)+ \frac{-8}{ x^{2}-2x+4 }}\)
Wymnożyłam te dwa otrzymane wyrażenia przez siebie i po przekształceniach wyszło: \(\displaystyle{ x^{2}+5x+15+ \frac{-8x-96}{ x^{2}-2x+4 }+ \frac{45}{x-3}}\) Czy jest poprawnie?
rozkład f-cji wymiernej
-
Caballero
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kpns
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
rozkład f-cji wymiernej
W Twojej metodzie zgubiłem się w momencie, gdy dzieliłaś sobie liczniki przez mianowniki - w ogóle nie rozumiem, w jaki sposób, dlaczego zniknęły Ci zmienne w liczniku i dlaczego wyszedł Ci taki dziwny wynik.
Przedstawię Ci metodę, którą mnie niegdyś przedstawiono:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{5} }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) } = x^{5} \qdot \frac{ 1 }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ 1 }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) } = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx + C}{x^{2} - 2x +4}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A,B,C = const}\)
W drugim ułamku występuje \(\displaystyle{ Bx + C}\), bo w mianowniku mamy funkcję kwadratową.
Mnożę obie strony równania przez mianownik.
\(\displaystyle{ A\left( x^{2} - 2x + 4 \right) + \left( Bx+C \right) \left( x - 3 \right) = 1}\)
Teraz uzgadniasz współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x}\) w kolejnych potęgach.
\(\displaystyle{ \begin{cases}A+B = 0 \ \rightarrow \ \hbox{stojące przy }x^{2} \\
-2A + B + C = 0 \ \rightarrow \ \hbox{stojące przy }x \\
4A -3C = 1 \ \rightarrow \ \hbox{wyrazy wolne} \end{cases}}\)
I zostaje Ci jedynie rozwiązać układ 3 równań z 3 niewiadomymi.
Pamiętaj, żeby po rozłożeniu tego czegoś na ułamki proste wymnożyć to jeszcze przez "wyjęty" przeze mnie \(\displaystyle{ x^{5}}\).
Oczywiście jest to wynik w dziedzinie liczb rzeczywistych. Dla zespolonych mogłabyś rozbić \(\displaystyle{ x^{2} - 2x +4}\) z mianownika na pierwiastki.
Przedstawię Ci metodę, którą mnie niegdyś przedstawiono:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{5} }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) } = x^{5} \qdot \frac{ 1 }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ 1 }{\left( x-3\right)\left( x^{2}-2x+4 \right) } = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx + C}{x^{2} - 2x +4}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A,B,C = const}\)
W drugim ułamku występuje \(\displaystyle{ Bx + C}\), bo w mianowniku mamy funkcję kwadratową.
Mnożę obie strony równania przez mianownik.
\(\displaystyle{ A\left( x^{2} - 2x + 4 \right) + \left( Bx+C \right) \left( x - 3 \right) = 1}\)
Teraz uzgadniasz współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x}\) w kolejnych potęgach.
\(\displaystyle{ \begin{cases}A+B = 0 \ \rightarrow \ \hbox{stojące przy }x^{2} \\
-2A + B + C = 0 \ \rightarrow \ \hbox{stojące przy }x \\
4A -3C = 1 \ \rightarrow \ \hbox{wyrazy wolne} \end{cases}}\)
I zostaje Ci jedynie rozwiązać układ 3 równań z 3 niewiadomymi.
Pamiętaj, żeby po rozłożeniu tego czegoś na ułamki proste wymnożyć to jeszcze przez "wyjęty" przeze mnie \(\displaystyle{ x^{5}}\).
Oczywiście jest to wynik w dziedzinie liczb rzeczywistych. Dla zespolonych mogłabyś rozbić \(\displaystyle{ x^{2} - 2x +4}\) z mianownika na pierwiastki.