Wykazać relacje równoważnosci oraz klasy abstrakcji

[foox92]

Mam problem z zadaniem.. a dokładnie nie wiem nawet jak ruszyc.. Jakby ktos mogł rozwiązać i tak troche wytlumaczyc co sie dzieje..

Oto treść: W zbiorze potegowym zbioru \(\displaystyle{ X = \left\{ 1, 2, 3, 4\right\}}\) okreslono relacje \(\displaystyle{ R}\) wzorem
\(\displaystyle{ ARB \Leftrightarrow N(A) = N(B),}\)
gdzie \(\displaystyle{ N(A)}\) oznacza liczbe elementów w zbiorze \(\displaystyle{ A}\). Pokazac, ze \(\displaystyle{ R}\)jest relacja równowaznosci. Wyznaczyc
klasy abstrakcji elementów \(\displaystyle{ \left\{ 4\right\} , \left\{ 1, 2\right\} , \left\{ 2, 4, 3\right\} .}\)

[Jan Kraszewski]

Z czym konkretnie masz problem? Znasz definicję relacji równoważności? Definicję klasy abstrakcji?

JK

[foox92]

Znam definicje.. ale z teori do praktyki długa droga..
no poprostu nie weim nawet jak to ruszyc;
relacja rownoważnosci jest spełniona gdy : jest relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia,
klasy abstrakcji.. zbiór wszystkich elementów \(\displaystyle{ y}\) należących \(\displaystyle{ X}\) bedacych w relacji równowaznosci z elementem \(\displaystyle{ x}\) należącym do \(\displaystyle{ X}\),

[Jan Kraszewski]

No dobrze. To teraz przytocz definicję zwrotności i sprawdź, że relacja jest zwrotna.

JK

[foox92]

własnie tutaj nie wiem .. definicja Dla każdego \(\displaystyle{ x \in R, xRx}\)(x jest w relacji z x).
Ale no nie weim jak to zrobic, wiem tylko że zbiory maja tą samą liczbe elementów.. a nie znam elementow zb A ani B ?

nie wiem,moze tak... jest zwrotna bo \(\displaystyle{ ARB \Leftrightarrow N(A) = N(A),}\)
symetryczna bo, \(\displaystyle{ N(A) = N(B) \Rightarrow N(B) = N(A)}\)

[Jan Kraszewski]

nie wiem jest zwrotna bo \(\displaystyle{ ARB \Leftrightarrow N(A) = N(A),}\)
symetryczna bo, \(\displaystyle{ N(A) = N(B) \Rightarrow N(B) = N(A)}\)

Tak. Jest zwrotna, bo każdy zbiór ma tyle samo elementów, co ma. Jest symetryczna, bo jeśli pierwszy zbiór ma tyle elementów co drugi, to drugi ma tyle co pierwszy...

JK

[foox92]

no to analogicznie? przechodniosc : \(\displaystyle{ N(A) = N(B) \wedge N(B) = N(C) \Rightarrow N(A) = N(C)}\) czyli \(\displaystyle{ N(A) = N(B) = N(C)}\) Jesli zbior \(\displaystyle{ A}\)ma tyle elementów co \(\displaystyle{ B}\), a \(\displaystyle{ B}\) ma tyle elementow co \(\displaystyle{ C}\), to zbior\(\displaystyle{ A=C}\),

a teraz jak klasy abstrakcji?
mam pomysl na tylko dla 4
\(\displaystyle{ [4]=\left\{ 1,2,3,4???\right\}}\)

[Jan Kraszewski]

no to analogicznie? przechodniosc : \(\displaystyle{ N(A) = N(B) \wedge N(B) = N(C) \Rightarrow N(A) = N(C)}\) czyli \(\displaystyle{ N(A) = N(B) = N(C)}\) Jesli zbior \(\displaystyle{ A}\)ma tyle elementów co \(\displaystyle{ B}\), a \(\displaystyle{ B}\) ma tyle elementow co \(\displaystyle{ C}\), to zbior\(\displaystyle{ A=C}\),

OK, ale nie \(\displaystyle{ A=C}\), tylko \(\displaystyle{ A}\) ma tyle elementów co \(\displaystyle{ C}\).

a teraz jak klasy abstrakcji?
mam pomysl na tylko dla 4
\(\displaystyle{ [4]=\left\{ 1,2,3,4???\right\}}\)

Do niczego. Pamiętaj, że jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest określona na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to każda klasa abstrakcji tej relacji jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\) (a jej reprezentantem jest element \(\displaystyle{ X}\)). Zatem w tym przypadku po pierwsze nie \(\displaystyle{ [4]}\), tylko \(\displaystyle{ [\{4\}]}\), a po drugie ma to być podzbiór \(\displaystyle{ P(\{1,2,3,4\})}\), czyli rodzina podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}}\). Po trzecie musisz zrozumieć, co to jest klasa abstrakcji, a nie "przeklepać" jej definicję.\(\displaystyle{ [\{4\}]}\) to rodzina tych podzbiorów \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}}\), które są w relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ \{4\}}\), czyli mają tyle samo elementów, co \(\displaystyle{ \{4\}}\)...

JK

[foox92]

hmm juz sie pogubilem z tej notatki co Pan napisał.
Jakby Pan moglby podać dla \(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]}\) i jakos wyjasnic to moze byc pojął. Bo znając definicje nie zawsze sie zrobi zadanie.

[Jan Kraszewski]

hmm juz sie pogubilem z tej notatki co Pan napisał.

Czego nie rozumiesz? A definicje nie wystarczy znać, trzeba je rozumieć...

JK

[foox92]

no bo mam wypisać wszystkie te elmenty z którymi \(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]}\) jest w relacji czyli co\(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\} \left\{ 1,2\right\}}\)?

[Jan Kraszewski]

no bo mam wypisać wszystkie te elmenty z którymi \(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]}\) jest w relacji czyli co\(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\} \left\{ 4,3\right\}}\)?

Nie \(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]}\) jest w relacji, tylko \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2\right\}}\) jest w relacji. Zaczynasz dobrze, pamiętaj tylko, że klasa abstrakcji to zbiór tych elementów.

A wyznaczyłeś już \(\displaystyle{ [\{4\}]}\)?

JK

[foox92]

\(\displaystyle{ [\left\{ 4\right\}]= \left\{ \left\{ 1\right\}\left\{ 2\right\} \left\{ 3\right\} \left\{ 4\right\}\right\}}\)
\(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]=\left\{ \left\{ 1,2\right\} \left\{ 3,4\right\}\right\}}\)
Niby tak.. choć mam przeczucie że to nie to.

edit; poprawiam zapis

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ [\left\{ 4\right\}]= \left\{ 1\right\}\left\{ 2\right\} \left\{ 3\right\} \left\{ 4\right\}}\)

Myśl słuszna, ale formalnie do niczego. Przecież to ma być zbiór, a Ty zapisałeś nie-wiadomo-co.

\(\displaystyle{ [\left\{ 1, 2\right\} ]=\left\{ 1,2\right\} \left\{ 3,4\right\}}\)
Niby tak.. choć mam przeczucie że to nie to.

Dlaczego tak mało? Jakie zbiory są w relacji z \(\displaystyle{ \{1,2\}}\)?
Oraz uwaga jak wyżej.

JK

[foox92]

no to tak: wszysko z czym sie łączy
\(\displaystyle{ \{[\left\{ 1, 2\right\} ]=\left\{ \left\{ 1,2\right\} \left\{ 3,4\right\}\left\{ 2,3\right\} \left\{ 2,4\right\} \left\{ 1,3\right\} \left\{ 1,4\right\} \right\}}\)