Znaleźć zależność liniową między wektorami
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
Witam...
Mam takie zadanie i nie mam pojęcia jak się w ogóle za nie zabrać... W ogóle nie miałem na zajęciach nic o zależnościach liniowych, ale muszę je zrobić...
Znaleźć zależność liniową między wektorami: \(\displaystyle{ m=a-b+c}\), \(\displaystyle{ p=a+b}\), \(\displaystyle{ q=b+ \frac{1}{2}c, r=b-c}\).
Proszę o pomoc...
Mam takie zadanie i nie mam pojęcia jak się w ogóle za nie zabrać... W ogóle nie miałem na zajęciach nic o zależnościach liniowych, ale muszę je zrobić...
Znaleźć zależność liniową między wektorami: \(\displaystyle{ m=a-b+c}\), \(\displaystyle{ p=a+b}\), \(\displaystyle{ q=b+ \frac{1}{2}c, r=b-c}\).
Proszę o pomoc...
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
to nie wiem jak Ci to tłumaczyć bez takich podstaw. Wiesz chociaż czym jest przestrzeń liniowa i jak się dodaje, odejmuje wektory od siebie i jak mnoży się wektor przez skalar??
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
to wiem...
Nie trzeba tu czasami zbudować z tych równań wyznacznika?
Nie trzeba tu czasami zbudować z tych równań wyznacznika?
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
zbiór wektorów jest liniowo zależny jeśli istnieje w nim jeden wektor liniowo zależny od pozostałych.
Wektor jest liniowo zależny od innych wektorów jeśli:
\(\displaystyle{ w=\alpha a+\beta b+ \gamma c}\), gdzie w, a, b, c są wektorami a \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są skalarami..
Wektor jest liniowo zależny od innych wektorów jeśli:
\(\displaystyle{ w=\alpha a+\beta b+ \gamma c}\), gdzie w, a, b, c są wektorami a \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są skalarami..
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
Dzięki...
\(\displaystyle{ \alpha (a – b + c) + \beta (a+b) + \gamma (b+0,5c) + \delta (b – c)}\)
Coś takiego? Co dalej zrobić z tym fantem...
\(\displaystyle{ \alpha (a – b + c) + \beta (a+b) + \gamma (b+0,5c) + \delta (b – c)}\)
Coś takiego? Co dalej zrobić z tym fantem...
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
chodzi o to, że musisz wykazać, że jeden z wektorów jest liniowo zależny od pozostałych..
przykładowo, że m jest liniową kombinacją wektorów p, q i r..
Zauważasz np, że \(\displaystyle{ q-r=b+0,5c-b+c=1,5c}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(q-r)=c}\)
Będzie można to wykorzystać..
Bierzemy:
\(\displaystyle{ p-2r=a+b-2(b-c)=a-b+2c}\) Mamy już prawie to, o co nam chodzi.. musimy jeszcze tylko odjąć c..
\(\displaystyle{ p-2r-\frac{2}{3}(q-r)=p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=a+b -\frac{4}{3}(b-c)+\frac{2}{3}(b+\frac{1}{2}c)=a+b-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}c-\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=a-b+c=m}\)
Pokazałem, że m jest liniową kombinacją pozostałych wektorów ze zbioru, zatem zbiór jest liniowo zależny.
PS. Jak zapewne się dowiesz, maksymalny (co do ilości wektorów) liniowo niezależny podzbiór zbioru wektorów przestrzeni liniowej nazywa się bazą przestrzeni. Inne twierdzenie mówi, że ilość wektorów w bazie jest równa wymiarowi przestrzeni liniowej. Zauważ, że tutaj cztery wektory zależały od niejako 3 współrzędnych (a,b,c).. Czyli miałeś 4 wektory w przestrzeni trójwymiarowej, w której maksymalnie 3 różne wektory mogą być liniowo niezależne.. Stąd od początku wynikało, że zbiór musiał być liniowo zależny
przykładowo, że m jest liniową kombinacją wektorów p, q i r..
Zauważasz np, że \(\displaystyle{ q-r=b+0,5c-b+c=1,5c}\)
Zatem: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}(q-r)=c}\)
Będzie można to wykorzystać..
Bierzemy:
\(\displaystyle{ p-2r=a+b-2(b-c)=a-b+2c}\) Mamy już prawie to, o co nam chodzi.. musimy jeszcze tylko odjąć c..
\(\displaystyle{ p-2r-\frac{2}{3}(q-r)=p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=a+b -\frac{4}{3}(b-c)+\frac{2}{3}(b+\frac{1}{2}c)=a+b-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}c-\frac{2}{3}b-\frac{1}{3}c=a-b+c=m}\)
Pokazałem, że m jest liniową kombinacją pozostałych wektorów ze zbioru, zatem zbiór jest liniowo zależny.
PS. Jak zapewne się dowiesz, maksymalny (co do ilości wektorów) liniowo niezależny podzbiór zbioru wektorów przestrzeni liniowej nazywa się bazą przestrzeni. Inne twierdzenie mówi, że ilość wektorów w bazie jest równa wymiarowi przestrzeni liniowej. Zauważ, że tutaj cztery wektory zależały od niejako 3 współrzędnych (a,b,c).. Czyli miałeś 4 wektory w przestrzeni trójwymiarowej, w której maksymalnie 3 różne wektory mogą być liniowo niezależne.. Stąd od początku wynikało, że zbiór musiał być liniowo zależny
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
Dzięki wielkie za to wszystko...
Możesz mi tylko powiedzieć skąd w odpowiedziach do tego zadania wzięło się coś takiego:
\(\displaystyle{ 3m-3p+2q+4r=o}\) i z czego to wynika...
Możesz mi tylko powiedzieć skąd w odpowiedziach do tego zadania wzięło się coś takiego:
\(\displaystyle{ 3m-3p+2q+4r=o}\) i z czego to wynika...
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
Znaleźć zależność liniową między wektorami
Chodzi o to, że kombinacja wektorów niezależnych nie da Ci wektora zerowego..
To jest dowód równoważny.. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=m \ \ |\cdot(-3) \Leftrightarrow \\
-3p+2q+4r=-3m \Leftrightarrow \\
3m-3p+2q+4r=0}\)
To jest dowód równoważny.. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ p-\frac{4}{3}r-\frac{2}{3}q=m \ \ |\cdot(-3) \Leftrightarrow \\
-3p+2q+4r=-3m \Leftrightarrow \\
3m-3p+2q+4r=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy