Dowód. Krzywe ortogonalne.

[Stoppie]

Mógłby mi ktoś przedstawić dowód na to, że rodzina krzywych ortogonalnych do danej rodziny krzywych zapisanych w postaci różniczkowej - \(\displaystyle{ F(x, y, y')=0}\), to \(\displaystyle{ F(x, y, -1/y')=0}\) ? Potrzeba mi dowodu na to, że \(\displaystyle{ y'}\) musimy zamienić na \(\displaystyle{ -1/y'}\). Będę wdzięczny za pomoc.

Dobrze kombinuje, że trzeba będzie wykorzystać wzór na kąt między funkcjami ? Czyli \(\displaystyle{ \alpha =\text{atan} \left( \frac{f' \left( x \right) -g' \left( x \right) }{1+f' \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) } \right)}\) ?

[luka52]

Dokładniej to argument funkcji arkus tangens powinien być objęty wartością bezwzględną.
Jednak na to by kąt był prosty, mianownik musi się zerować, czyli \(\displaystyle{ 1+ f'(x) g'(x) = 0}\). W sytuacji gdy \(\displaystyle{ f'(x) = y'}\) możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ g'(x)}\) jako właśnie \(\displaystyle{ -\tfrac{1}{y'}}\).

[Stoppie]

A to aż takie łatwe ? A co jeśli np. w treści zadania będzie, abym znalazł rodzinę krzywych, które tworzą kąt, powiedzmy \(\displaystyle{ 30}\) stopni z podaną rodziną krzywych ? Wtedy liczę \(\displaystyle{ \tan \left( \frac{ \pi }{6} \right) =\left| \frac{f' \left( x \right) -g' \left( x \right) }{1+f' \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) }\right|}\). Dostaje - \(\displaystyle{ g'(x)= \pm \frac{3 \cdot f' \left( x \right) - \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \cdot f' \left( x \right) +3 }}\) ? Mogę po prostu opuścić wartość bezwzględną i napisać \(\displaystyle{ \pm}\) ? Czy oprócz tego muszę rozbić na jakieś przedziały ?

[luka52]

Jeżeli obie strony równania są dodatnie (a tak jest w tym przypadku), możesz podnieść je obustronnie do drugiej potęgi, pozbywając się w ten sposób wartości bezwzględnej. Podany przez Ciebie wynik jest trochę podejrzany. Nie liczyłem, ale wydaje mi się, że opuściłeś moduł zastępując go \(\displaystyle{ \pm}\), a tak nie można postępować.

[Stoppie]

No właśnie początkowo podniosłem do kwadratu, żeby pozbyć się wartości bezwzględnej, ale stwierdziłem, że może nie trzeba, bo na zajęciach często opuszczamy war. bezwzględną i zostawiamy \(\displaystyle{ \pm}\), ale nie wiedziałem, czy tak można, bo prowadzący wiele aspektów pomija. W każdym razie będę już wiedział jak to zrobić na egzaminie. Dzięki za odpowiedź. :]