Zadanie, z którym mam problem brzmi:
Obliczyć wyznacznik oraz macierz odwrotną (o ile istnieje) do macierzy A spełniającej równanie: \(\displaystyle{ A^{3} -A = 0}\).
Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ det [A] * det[A - I] * det[A + I] = 0}\) i na tym moja wiedza się skończyła, nie potrafię ugryźć równości \(\displaystyle{ det[A - I] = 0}\) i \(\displaystyle{ det [A + I] = 0}\) ...
Będę wdzięczny za jakąkolwiek podpowiedź, pozdrawiam!
równanie z wyznacznikiem
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
równanie z wyznacznikiem
Wiem jak się wyznacza wartości własne, ale jakoś nie widzę powiązania do mojego przykładu, mógłbyś jaśniej?
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
równanie z wyznacznikiem
\(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A \Leftrightarrow}\) spełnione jest równanie \(\displaystyle{ det(A-\ldots)=\ldots}\)
Uzupełnij tam gdzie są kropeczki.
Uzupełnij tam gdzie są kropeczki.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
równanie z wyznacznikiem
Czy ktoś w zadaniu pytał o wartości własne?
\(\displaystyle{ A^3=A}\)
\(\displaystyle{ \det A^3=\det A}\)
\(\displaystyle{ (\det A)^3=detA}\)
\(\displaystyle{ (\det A)^3-\det A=0}\)
\(\displaystyle{ \det A((\det A)^2-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \det A(\det A-1)(\det A+1)=0}\)
\(\displaystyle{ \det A=0 \vee \det A=1 \vee \det A=-1}\)
o ile macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje to można tak :
\(\displaystyle{ AAA=A}\)
\(\displaystyle{ AAAA^{-1}A^{-1}=AA^{-1}A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A=A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^3=A}\)
\(\displaystyle{ \det A^3=\det A}\)
\(\displaystyle{ (\det A)^3=detA}\)
\(\displaystyle{ (\det A)^3-\det A=0}\)
\(\displaystyle{ \det A((\det A)^2-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \det A(\det A-1)(\det A+1)=0}\)
\(\displaystyle{ \det A=0 \vee \det A=1 \vee \det A=-1}\)
o ile macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje to można tak :
\(\displaystyle{ AAA=A}\)
\(\displaystyle{ AAAA^{-1}A^{-1}=AA^{-1}A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A=A^{-1}}\)
równanie z wyznacznikiem
Ale nie powinno być zamiast 1 macierz jednostkowa tak jak ja uwzględniłem (oznaczyłem jako I )? Wydaje mi się, że nie możemy zrobić, że detA=1 tak jak Ty zrobiłeś...
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1503
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 476 razy
równanie z wyznacznikiem
Jeśli ci się wydaje,że ja zrobiłem źle, to pokaż błędy . Z niczego innego oprócz twierdzenia o wyznaczniku iloczynu macierzy oraz własności działań nie korzystam. To co zrobiłeś też nie zawiera błędów:
istotnie \(\displaystyle{ A^3-A=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)}\)
,ale ta droga byłaby przydatna do badania wartości własnych raczej niż wyznacznika.
istotnie \(\displaystyle{ A^3-A=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)}\)
,ale ta droga byłaby przydatna do badania wartości własnych raczej niż wyznacznika.