Granica ciągu , do sprawdzenia

[Zao90]

Witam , kilka zadań z obliczania granic funkcji , nie wiem czy dobrze robię :

1.
\(\displaystyle{ an= \sqrt{n^2-n} -n
= lim\left( \sqrt{n^2-n}-n \cdot \frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n} \right)
= lim \left( \frac{-n}{ \sqrt{n^2-n}+n } \right) = lim \left( \frac{-n}{n \sqrt{n-1}+n } \right)
= lim \left( \frac{-n}{2n \sqrt{n-1} } \right)= \frac{-1}{2}}\)

nie jestem pewny ale chyba źle wyciągam przed pierwiastek ...

2.
\(\displaystyle{ an= \frac{ \sqrt{n^2+3} }{2n-1} = lim \left( \frac{n \sqrt{n+ \frac{3}{n} } }{2n-1} \right) \Rightarrow \frac{1}{2}}\)
3.
\(\displaystyle{ an = 4n - \sqrt{16n^2+6n-5} = lim \left(4n - \sqrt{16n^2+6n-5} \cdot \frac{4n - \sqrt{16n^2+6n+5}}{4n - \sqrt{16n^2+6n+5}} } \right) = lim \left( \frac{16n^2-\left( 16n^2+6n-5\right) }{4n+ \sqrt{16n^2+6n-5} } \right) = lim \left( \frac{-6n+5}{4n+n \sqrt{16n+ \frac{6}{n}- \frac{5}{n} } } \right) \Rightarrow \frac{-6}{5}}\)

nie wiem jak wyciągać z pod pierwiastka , i po co się to robi ??? po to by zastosować twierdzenie o tym że jeśli licznik i mianownik są tego samego stopnia to je dzielimy ???

4.
\(\displaystyle{ an= \left( \frac{n+1}{n-2} \right) ^{2n} = lim \left( \frac{n-2+3}{n-2} \right)^{2n} = lim \left( 1+ \frac{3}{n-2} \right)^{2n} = lim\left( \left( 1+ \frac{3}{n-2} \right)^\frac{n-2}{3} \right)^x}\)

tutaj właśnie nie wiem jak znaleść tą potęgę x , tak żeby pomnożona przez \(\displaystyle{ \frac{n-2}{3}}\) dała \(\displaystyle{ 2n}\) żeby można było zastosować twierdzenie z e
Jeśli ktoś był by tak miły by to wytłumaczyć...

[math questions]

1, 2 i 3 źle wyciągnięte przed pierwiastek

przykład:

\(\displaystyle{ \sqrt{n^2-n}+n=n\left( \sqrt{1- \frac{1}{n} }+1\right)}\)

[Zao90]

czyli jeśli z pod pierwiastka wyciągam n , to dzielę wszysto przez \(\displaystyle{ n^2}\) tak ???
np:

\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+2n+4} = n \sqrt{1+ \frac{2n}{n^2}+ \frac{4}{n^2} }}\)
tak ???

czyli zadanie nr 1 ma wyglądać tak :
1.
\(\displaystyle{ an= \sqrt{n^2-n} -n
= lim\left( \sqrt{n^2-n}-n \cdot \frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n} \right)
= lim \left( \frac{-n}{ \sqrt{n^2-n}+n } \right) = lim \left( \frac{-n}{n \sqrt{1- \frac{1}{n} }+n } \right)
= lim \left( \frac{-n}{2n \sqrt{1- \frac{1}{n} } } \right)= \frac{-1}{2}}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ an= \sqrt{n^2-n} -n
= lim\left( \sqrt{n^2-n}-n \cdot \frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n} \right)
= lim \left( \frac{-n}{ \sqrt{n^2-n}+n } \right) = lim \left( \frac{-n}{n \sqrt{1- \frac{1}{n} }+n } \right)
= \frac{-1}{1+1} = \frac{-1}{2}}\)

nie wiem skąd się wzieła ta 2 przy n w ostatnim pierwiastku tego nie mozna dodać

[Quester]

czyli jeśli z pod pierwiastka wyciągam n , to dzielę wszysto przez \(\displaystyle{ n^2}\) tak ???
np:

\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+2n+4} = n \sqrt{1+ \frac{2n}{n^2}+ \frac{4}{n^2} }}\)
tak ???

Tak, z prostego powodu:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+2n+4} = \sqrt{n^2\left(1+ \frac{2n}{n^2}+\frac{4}{n^2} \right)} = \sqrt{n^2} \cdot \sqrt{\left(1+ \frac{2}{n}+\frac{4}{n^2} \right)} = n \sqrt{1+ \frac{2}{n}+\frac{4}{n^2} }}\)

4.
\(\displaystyle{ an= \left( \frac{n+1}{n-2} \right) ^{2n} = lim \left( \frac{n-2+3}{n-2} \right)^{2n} = lim \left( 1+ \frac{3}{n-2} \right)^{2n} = lim\left( \left( 1+ \frac{3}{n-2} \right)^\frac{n-2}{3} \right)^x}\)

tutaj właśnie nie wiem jak znaleść tą potęgę x , tak żeby pomnożona przez \(\displaystyle{ \frac{n-2}{3}}\) dała \(\displaystyle{ 2n}\) żeby można było zastosować twierdzenie z e
Jeśli ktoś był by tak miły by to wytłumaczyć...

To naprawde nie jest trudne

\(\displaystyle{ \frac{n-2}{3} \cdot x = 2n \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 2n}{n-2} = \frac{6n}{n-2}}\)