Funkcja holomorficzna

[o_co_choozi]

Proszę o pomoc w znalezieniu części urojonej funkcji holomorficznej, której część rzeczywista jest równa:
\(\displaystyle{ a(x,y) = 3 \cdot x + y ^{2} - x^{2}}\)

[BettyBoo]

Jeśli funkcja jest holomorficzna, to spełnia warunki Cauchy-Riemanna. Jeśli część urojoną oznaczymy przez \(\displaystyle{ \beta}\), to muszą być spełnione warunki \(\displaystyle{ \frac{ \partial \alpha}{ \partial x}=\frac{ \partial \beta}{ \partial y},\ \frac{ \partial \alpha}{ \partial y}=-\frac{ \partial \beta}{ \partial x}}\)

Najpierw korzystasz z drugiej równości (możesz też z pierwszej, to bez znaczenia, ale z drugiej trochę "łatwiej" się liczy). Obliczasz pochodną funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) po y i masz:

\(\displaystyle{ 2y=-\frac{ \partial \beta}{ \partial x}\ \to \beta=\int -2ydx=-2xy+c(y)}\)

Teraz korzystasz z pierwszej równości:

\(\displaystyle{ 3-2x=-2x+c'(y)\ \to\ c'(y)=3\ \to\ c=\int 3dy=3y+a}\)

a stąd masz \(\displaystyle{ \beta(x,y)=-2xy+3y+a}\)

Pozdrawiam.