Ciągłośc, granice funkcji dwóch zmiennych

[klaudekk]

Mam problem z przykładem: zbadaj ciagłość funkcji
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{16-x ^{2}-y^2 } \ dla \ x^2+y^2 \le 16
\\0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x^2+y^2 > 16 \end{cases}}\)

Funkcja jest ciągła w\(\displaystyle{ \ x^2+y^2 \le 16}\). Jak sprawdzić czy jest ciała na okregu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2 =16}\)??

prosze o wskazówki.

[szw1710]

Na tym okręgu przyjmuje wartość zero, na zewnętrzu też (źle napisałaś definicję funkcji). Więc jest ciągła. Formalnie granicę w punkcie okręgu trzeba policzyć. Więc zbliżając się do okręgu od strony wnętrza wartości funkcji zmierzają do zera, a od strony zewnętrza są wręcz równe zero. Nasza funkcja jest więc ciągła na okręgu. To intuicja, ale gdybym Cię odpytywał na egzaminie i podałabyś mi to, co napisałem, uznałbym to za całkowicie wystarczające wytłumaczenie. Ale uwaga!!! Nie pomyl tego z granicami jednostronnymi, których dla funkcji wielu zmiennych po prostu nie ma. Na prostej mamy tylko dwa kierunki: lewy i prawy. Ale już na płaszczyźnie jest ich nieskończenie wiele.

[klaudekk]

Czyli jakie uzasadnienie powinnam napisac gdyby cos takiego trafiło mi się na kolokwium??
Jak powinnam udowodnic formalnie granice na okregu.
Za bład w znaku nierównosci przeprasza, poprawiłam.

[szw1710]

Inną rzeczą jest zdawanie egzaminu ustnego, inną pisanie kolokwium, a następną osoba prowadzącego. Ja tylko o sobie mogę to powiedzieć. A taki zapis na kolokwium uznałbym, gdybym Cie bardziej poznał i miał pewność, że sprawę rozumiesz. Wiedziałbym, kim jesteś, już po dwóch-trzech ćwiczeniach.

Reasumując - próbowałbym jednak na kolokwium bardziej formalnie uzasadnić istnienie granicy zerowej w punkcie okręgu. Np. z definicji Heinego. Biorę punkt \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) na okręgu i ciąg punktów do niego zmierzających. Jeśli wyraz ciągu jest poza kołem, to wartość funkcji jest zerowa. Jeśli w kole, to ze zmierzania wyrazu ciągu do punktu okręgu wywnioskujesz, że wartość funkcji zmierza do zera. Oczywiście sformalizować to trzeba. Osobiście dla mnie to przerost formy nad treścią. Ale z czegoś trzeba odpytać.

[klaudekk]

A czy nie da sie tego zrobić w inny sposób, nie z Heinego?? To jest dla mnie nie do końca przekonujące, a trudno sie nauczyc czegoś do czego nie jestem do końca przekonana

[szw1710]

Według definicji Cauchy'ego. Intuicja: jeśli masz małe otoczenie kołowe punktu okręgu, to ma ono punkty wspólne i z właściwym kołem, i z jego zewnętrzem. Na zewnętrzu wartości funkcji są zerowe, a na wnętrzu koła (w tym małym otoczeniu) są tak małe jak chcemy.

[klaudekk]

Czyli to coś jak punkt brzegowy w metryce??

[szw1710]

Tak. Można tak myśleć. Przecież okrąg jest brzegiem koła.