Interpolacja Lagrange'a

[Loki123]

Dokonać interpolacji Lagrange'a funkcji określonej przez dyskretny zbiór wartości:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
{L.p.} & {1} & {2} & {3} &{4}\\ \hline
x & -3 & -1 & 1 & 4 \\ \hline
F(x) & -4 & -2 & 0 & -2 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Oblicz wartość funkcji interpolującej dla \(\displaystyle{ x=0,0}\).

Bardzo bym prosił o pokazanie jak rozwiązywać zadania tego typu. Przepraszam że nie ma tabelki ale nie potrafiłem się połapać jak ją wstawić

[szw1710]

Zobacz mniej więcej na środek mojego tekstu na nieco inny temat, ale omawiam tam wzór Lagrange'a.
https://www.matematyka.pl/270811.htm

Musisz więc zacząć od wyznaczenia wielomianów podstawowych Lagrange'a. Sa one związane tylko z węzłami interpolacji, nie z interpolowaną funkcją. Krótko mówiąc, mając te wielomiany, trywialnie interpolujemy dowolną funkcję.

Poradziłeś sobie jakoś? Przegryź się przez oznaczenia i już. W innej, równoważnej, postaci mamy

\(\displaystyle{ \ell_k(x)=\frac{(x-x_1)\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n)}{(x_k-x_1)\cdots(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)}\,,\quad k=1,2,\dots,n\,.}\)

Wzór Lagrange'a znajdziesz we wspomnianym moim poście.

[Loki123]

hmm czy to będzie wyglądać mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ L _{0}=\frac{(x+1)(x-1)(x-4)}{(-3+1)(-3-1)(-3-4)} \\ L _{1}= \frac{(x+3)(x-1)(x-4)}{(-1+3)(-1-1)(-1-4)}\\L _{2}= \frac{(x+3)(x+1)(x-4)}{(1+3)(1+1)(1-4)}\\ L _{3}= \frac{(x+3)(x+1)(x-1)}{(4+3)(4+1)(4-1)}}\)

Jeśli tak, co dalej?
Z góry wielkie dzięki.

[szw1710]

Tak. Teraz zastosuj wzór Lagrange'a do Twoich wartości \(\displaystyle{ F(x)}\). Jest on opisany w moim poście. Skoro wyznaczyłeś już wielomiany podstawowe, skorzystanie z opisanego wzoru nie sprawi Ci problemu. Podaję dwa możliwe wzory na wielomiany podstawowe. Na tym konkretnym przykładzie sprawdź, że chodzi o to samo. To takie ćwiczenie ode mnie dla Ciebie. Z teorii interpolacji czy analizy numerycznej, jak wolisz.

[Loki123]

Wykonałem wszystkie działania i wyszły mi strasznie duże liczby ułamkowe. Nie jestem pewien czy się gdzieś nie pomyliłem

\(\displaystyle{ -\frac{1}{56} (x+1)(x-1)(x-4)(-4) + \frac{1}{20}(x+3)(x-1)(x-4)(-2) - \frac{1}{24} (x+3)(x+1)(x-4)0+ \frac{1}{105}(x+3)(x+1)(x-1)(-2)=\\ =\frac{1}{14}(x ^{3}-4x ^{2}-x+4)- \frac{1}{10}(x ^{3}-2x ^{2}-11x+12)- \frac{2}{105}(x ^{3}+3x ^{2}-x-3)}\)

Niestety nie wiem czy tak można to zostawić? I czy do takiej formy mogę podstawić punkt \(\displaystyle{ 0,0}\)? Prosił bym o jeszcze jakąś wskazówkę i czy można policzyć to nie wchodząc na takie duże liczby?

[szw1710]

Co za problem, że ułamki wychodzą? Nie widzę tu niczego osobliwego. Do tego wzoru masz wstawić \(\displaystyle{ x=0.}\) Na rachunki nie mam już siły. Oczywiście możesz to powymnażać, ale w analizie numerycznej wymnażanie nie jest rozsądnym pomysłem. To tak dla człowieka dobrze się na to patrzy. Ale dla komputera absolutnie nie. Wzór Lagrange'a też nie jest idealny, bo generuje duże błędy zaokrągleń. Pozbawiony tego jest wzór Newtona. Piszę o nim w Kompendium Analizy.

[Loki123]

Po wstawieniu \(\displaystyle{ 0}\) do równania zostają:
\(\displaystyle{ \frac{4}{14} - \frac{12}{10} + \frac{6}{105} = - \frac{6}{7}}\)

Doprowadzać do skończonej postaci czy wynik w poprzednim poście jest zadowalający?
Niestety nie znalazłem tego drugiego wzoru ten przykład robiłem na podstawie notatek z uczelni i tam takim sposobem wyło rozwiązywane.
Pozdrawiam

[szw1710]

Dla mnie wystarczy.

Bo o wzorze Newtona się powszechnie nie wykłada. Zobacz 269333.htm 269340.htm 269342.htm W tej kolejności. Bo występujące pojęcia są wprowadzane i omawiane kolejno.

Dobrej nocy.