Funkcja ciągła na [a,b] ma kresy, co gdy jest nieciągła?

[Hubert Multana]

Witam,

zostałem postawiony przed poniższym zagadnieniem:

Mamy funkcję ciągłą na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\).

Wówczas zachodzi następujące zjawisko:

\(\displaystyle{ \exists c \in [a,b], f(c) = \inf_{x \in [a,b]} f(x)}\)
oraz

\(\displaystyle{ \exists d \in [a,b], f(d) =\sup_{x \in [a,b]} f(x)}\)

Tłumaczone było to w czasie omawiania twierdzenia Weierstrassa. Czyli innymi słowy, jeśli mamy funkcję ciągłą na danym przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) to w tym przedziale ta funkcja osiągnie swoje kresy, zarówno dolny i górny.

Jak jednak udowodnić, że dla funkcji nieciągłej na zadanym przedziale ta własność nie jest spełniona?

[szw1710]

Nie nie jest (\(\displaystyle{ f(x)=\text{sgn}\, x}\) na \(\displaystyle{ [-1,1]}\) jest nieciągła i ma przyjęte oba kresy), ale nie musi. Weź \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) na \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ f(0)=0.}\)

[Hubert Multana]

No tak, o to chodzi. W przypadku funkcji ciągłej na przedziale zajdzie ta zależność zawsze. Natomiast ja mam udowodnić, że na funkcji nieciągłej nie zajdzie to zjawisko zawsze (nawet jeśli jest możliwe w jakimś losowym przypadku).

[szw1710]

Zobacz mój post po poprawce. Na początku ma być "signum" - nie wydrukowało mi się, teraz jest OK. Signum to znak: \(\displaystyle{ -1}\) dla liczb ujemnych, \(\displaystyle{ 1}\) dla dodatnich, \(\displaystyle{ 0}\) dla zera. Masz funkcję nieciągłą przyjmującą oba kresy. Więc kończy to Twoje zadanie.

[Hubert Multana]

Fakt, na początku nie pasował mi Twój post, ale poprawka rozwiała wątpliwości.

Natomiast dalej się chyba nie rozumiemy. Ja mam pokazać, że nie każda funkcja nieciągła ma oba kresy bo są takie funkcje nieciągłe, które kresów mieć nie będą...sgn(x) na przedziale [-1,1] jest funkcją nieciągłą, a ma kresy górny i dolny co jest niewątpliwie ciekawym przykładem, ale chyba nie rozwiązuje mojego problemu.

[szw1710]

Bo nie ma komendy sgn , wydawało mi się, że jest. Osiągnąłem to inaczej: ext{sgn}

Myślę, że rozumiem Twoje pytanie doskonale. W moim poście podałem też drugi przykład. Przecież odpowiada to w pełni na Twoje pytanie. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) w \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ f(0)=0}\) nie ma w \(\displaystyle{ [0,1]}\) skończonego kresu górnego (nie jest ograniczona z góry).

[Hubert Multana]

Racja, dokładnie o to chodziło, musiałem sobie na spokojnie kilka razy przeczytać.