Jak wyznaczyć taką sumę: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i}p^i}\)
Z góry dziękuję za wszelką pomoc..
Znaleźć sumę
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Znaleźć sumę
Można metodą zaburzania:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k-1} (1-p)^{k-i}\cdot p^i + p^k = \sum_{i=1}^{k}(1-p)^{k-i}\cdot p^i = (1-p)^{k-1}\cdot p + \sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i-1}\cdot p^{i+1} = (1-p)^{k-1}\cdot p + p\cdot \frac{\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i}\cdot p^i}{1-p} \\ \\ \iff \\ \\ \sum_{i=1}^{k-1} (1-p)^{k-i}\cdot p^i + p\cdot \frac{\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i}\cdot p^i}{p-1} = (1-p)^{k-1}\cdot p - p^k \\ \\ \iff \\ \\ \left(\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-1}\cdot p^i\right)\left(1+\frac{p}{p-1}\right) = (1-p)^{k-1}\cdot p - p^k \\ \\ \iff \\ \\ \sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-1}\cdot p^i = \frac{(p-1)\left((1-p)^{k-1}\cdot p - p^k\right)}{2p-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k-1} (1-p)^{k-i}\cdot p^i + p^k = \sum_{i=1}^{k}(1-p)^{k-i}\cdot p^i = (1-p)^{k-1}\cdot p + \sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i-1}\cdot p^{i+1} = (1-p)^{k-1}\cdot p + p\cdot \frac{\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i}\cdot p^i}{1-p} \\ \\ \iff \\ \\ \sum_{i=1}^{k-1} (1-p)^{k-i}\cdot p^i + p\cdot \frac{\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-i}\cdot p^i}{p-1} = (1-p)^{k-1}\cdot p - p^k \\ \\ \iff \\ \\ \left(\sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-1}\cdot p^i\right)\left(1+\frac{p}{p-1}\right) = (1-p)^{k-1}\cdot p - p^k \\ \\ \iff \\ \\ \sum_{i=1}^{k-1}(1-p)^{k-1}\cdot p^i = \frac{(p-1)\left((1-p)^{k-1}\cdot p - p^k\right)}{2p-1}}\)