Wyznacz równanie stożka o wierzchołku \(\displaystyle{ S (0,0,1)}\) i kierownicy K \(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} - y^{2} =9 \\ z=2 \end{cases}}\).
Robię to w ten sposób, ale nie jestem pewna, czy jest on poprawny i czy prowadzi na pewno do rozwiązania:
Niech \(\displaystyle{ P ^{'} \in K}\) : \(\displaystyle{ (x ^{'} , y ^{'} ,z=2).}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=tx ^{'} \\ y=ty ^{'} \\ z=1 + 2t \end{cases}}\)
Z ostatniego wyznaczam \(\displaystyle{ t= \frac{z-1}{2}}\)
Podstawiam do dwóch pierwszych równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{'}= \frac{2x}{z-1} \\ y ^{'}= \frac{2y}{z-1} \end{cases}}\)
Następnie podstawiam te \(\displaystyle{ x ^{'}}\) i \(\displaystyle{ y ^{'}}\) do równania kierownicy i otrzymuję:
\(\displaystyle{ 4x ^{2} -4y ^{2} -9z ^{2} +18z-9=0}\)
Czy to jest już rozwiązanie?