Warunek Lipschiza...

[gery4]

Niech \(\displaystyle{ f:R R}\) spełnia warunek Lipschiza \(\displaystyle{ |f(x)-f(y)| < L * |x-y|}\)ze stałą L=1. Wykaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ x R}\),że \(\displaystyle{ f(x)=x}\)

[bedbet]

Twierdzenie podane przez Ciebie jest fałszywe. Rozważmy funkcje sinus:

\(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\right|\leqslant 2\left|\sin\frac{x-y}{2}\right|\leqslant 2\left|\frac{x-y}{2}\right|=|x-y|}\)

Zatem funkcja sinus spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L=1}\), ale nie istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), że zachodzi równość:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

(funkcja sinus nie jest nigdzie liniowa)

Zatem podaliśmy kontrprzykład, dla którego podane przez Ciebie tw. nie zachodzi.

[Lorek]

Rozważmy funkcje sinus:

He? A mi się wydawało, że \(\displaystyle{ \sin 0=0}\), co, to nie pasuje?

[bedbet]

W tym twierdzeniu powinno być napisane, że istnieje dokładnie jeden taki \(\displaystyle{ x}\), że...
To jest jedna z wersji tw. Banacha o punkcie stałym, jeżeli założyć, że istnieje dokładnie jeden taki \(\displaystyle{ x}\). W przeciwnym razie tw. jest fałszywe.

[kaktus28]

Twierdzenie podane przez Ciebie jest fałszywe. Rozważmy funkcje sinus:

\(\displaystyle{ |\sin x-\sin y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}\right|\leqslant 2\left|\sin\frac{x-y}{2}\right|\leqslant 2\left|\frac{x-y}{2}\right|=|x-y|}\)

Zatem funkcja sinus spełnia warunek Lipschitza ze stałą \(\displaystyle{ L=1}\), ale nie istnieje taki \(\displaystyle{ x}\), że zachodzi równość:

\(\displaystyle{ f(x)=x}\)

(funkcja sinus nie jest nigdzie liniowa)

Zatem podaliśmy kontrprzykład, dla którego podane przez Ciebie tw. nie zachodzi.

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć skąd się wizełą prawa strona nierówności??

[miodzio1988]

kaktus28, który krok konkretnie jest niejasny?

[kaktus28]

Od pierwszego znaku nierówności

[miodzio1988]

Wzór na roznice sinusow

[kaktus28]

To przekształcenie jeszcze wiem potem jest znak nierówności i dalej nie wiem skąd to się bierze