Monotoniczność i ograniczenie ciągu

[aerow]

Sprawdź czy ciąg jest monotoniczny i ograniczony.
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 2^{n} }{n!}}\)

Sprawdzam \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}= \frac{ 2^{n} }{n!}*(- \frac{n-1}{n+1})}\)

\(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow \frac{ 2^{n} }{n!} > 0 \wedge (- \frac{n-1}{n+1}) < 0}\)
z tego wynika że ciąg jest malejący?

Mam pytanie jak sprawdzić ograniczenie?
Z góry dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ n \ge 1 \Rightarrow - \frac{n-1}{n+1} < 0}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) nierówność po prawej będzie słaba. Niemniej, dowód monotoniczności jest poprawny - ciąg jest nierosnący.
A skoro jest nierosnący, to dwa pierwszy wyrazy będą największe, czyli ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ a_1=2.}\) Z dołu jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 0,}\) bo przyjmuje wartości dodatnie.