[Nierówności] Nierówność Cauchy'ego - Schwarza

[Wisienkaaa]

Mam problem z zadaniami a głównie nie wiem jak zacząć bo nie widze zastosowania tej nierówności;/
1) Udowodnij nierówność dla\(\displaystyle{ x,y>0}\) \(\displaystyle{ a,b}\)- dowolne
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geqslant\frac{{{(a+b)}^{2}}}{x+y}}\)

2) Dla \(\displaystyle{ a,b,c,>0}\) wykaż
\(\displaystyle{ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geqslant\frac{3}{2}}\)

3) Dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) udowodnij
\(\displaystyle{ 8(a^{4}+b^{4})\geqslant (a+b)^{4}}\)

4) Dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) pokaż
\(\displaystyle{ \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\geqslant\frac{9}{x+y+z}}\)

[miki999]

W 1. jeszcze \(\displaystyle{ a, b>0}\) powinno być, tak?

edit:
@Qń
No tak. Można nawet powiedzieć, że "tym bardziej"

[Qń]

W 1. jeszcze \(\displaystyle{ a, b>0}\) powinno być, tak?

Nie, nierówność jest prawdziwa bez tego.

Q.

[adamm]

1:    

rozpatrz wektory \(\displaystyle{ \left(\frac{a}{\sqrt{x}},\frac{b}{\sqrt{y}}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(\sqrt{x},\sqrt{y}\right)}\)

2:    

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{a}{b+c}},\sqrt{\frac{b}{a+c}},\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)}\),\(\displaystyle{ \left(\sqrt{\frac{b+c}{a}},\sqrt{\frac{a+c}{b}},\sqrt{\frac{a+b}{c}}\right)}\) przyda się jeszcze nierówność \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \ge 2}\)

3:    

\(\displaystyle{ (a^2,b^2)}\),\(\displaystyle{ (2,2)}\), a następnie \(\displaystyle{ (a,b)}\),\(\displaystyle{ (1,1)}\)

4:    

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt{x+y}},\frac{1}{\sqrt{y+z}},\frac{1}{\sqrt{z+x}}\right)}\),\(\displaystyle{ \left(\sqrt{x+y},\sqrt{y+z},\sqrt{z+x}\right)}\)