Pod jakim kątem
-
321start
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 30 wrz 2009, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ad
- Podziękował: 3 razy
Pod jakim kątem
Człowiek znajduje się \(\displaystyle{ 50 \mathrm{m}}\) od prostej drogi po której zbliża się samochód z prędkością \(\displaystyle{ v_1=10\mathrm{\frac{m}{s}}}\). Pod jakim kątem powinien pobiec człowiek z prędkością \(\displaystyle{ v_2=3\mathrm{\frac{m}{s}}}\) by spotkać się z samochodem jeżeli w chwili \(\displaystyle{ t_0}\) samochód znajdował się \(\displaystyle{ 200 \mathrm{m}}\) od człowieka.
Ostatnio zmieniony 9 lis 2011, o 16:53 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Pod jakim kątem
Ustalmy, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) mierzony będzie w stosunku do prostej prostopadłej do jezdni, a wtedy pieszy osiągnie jezdnię po czasie
\(\displaystyle{ \Delta t = \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha}}\)
zaś wzdłuż jezdni pokona odległość
\(\displaystyle{ \Delta x _{2} = v _{2} \sin \alpha \cdot \Delta t = v _{2} \sin \alpha \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha}}\)
W tym samym czasie samochód pokona odleglość \(\displaystyle{ \Delta x _{1}}\) spełniającą warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta x _{1} = v _{1} \cdot \Delta t = v _{1} \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha} \\ \\ \Delta x _{1} = l _{1} - \Delta x _{2} = \sqrt{d ^{2} - l _{2} ^{2}} - l _{2} \cdot \tg \alpha \end{cases}}\)
gdzie
d - początkowa odległość między pieszym a samochodem (mierzona oczywiście skośnie do kierunku jazdy)
\(\displaystyle{ l _{1}}\) - odległość początkowa samochodu od prostej prostopadłej do jezdni i przechodzącej przez punkt, w którym znajdował się na początku pieszy
\(\displaystyle{ l _{2}}\) - odległość początkowa pieszego od jezdni
\(\displaystyle{ v _{1} \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha} = \sqrt{d ^{2} - l _{2} ^{2}} - l _{2} \cdot \tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot \frac{50}{3 \cos \alpha} = \sqrt{200^{2} - 50^{2}} - 50 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot 50 = 50 \cdot \sqrt{4^{2} - 1^{2}} \cdot 3 \cdot \cos \alpha - 50 \cdot 3 \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 10 = 3\sqrt{15} \cdot \cos \alpha - 3 \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot \sin \alpha + 10 = 3\sqrt{15} \cdot \cos \alpha}\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu i mamy:
\(\displaystyle{ 9 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha + 100 = 9 \cdot 15 \cdot \cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ 9 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha + 100 = 9 \cdot 15 \cdot \left( 1 - \sin ^{2} \alpha\right)}\)
\(\displaystyle{ 144 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha - 35 = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{\sqrt{1485} - 15 }{72}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{1485} - 15 }{72} \approx 19,08 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \Delta t = \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha}}\)
zaś wzdłuż jezdni pokona odległość
\(\displaystyle{ \Delta x _{2} = v _{2} \sin \alpha \cdot \Delta t = v _{2} \sin \alpha \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha}}\)
W tym samym czasie samochód pokona odleglość \(\displaystyle{ \Delta x _{1}}\) spełniającą warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta x _{1} = v _{1} \cdot \Delta t = v _{1} \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha} \\ \\ \Delta x _{1} = l _{1} - \Delta x _{2} = \sqrt{d ^{2} - l _{2} ^{2}} - l _{2} \cdot \tg \alpha \end{cases}}\)
gdzie
d - początkowa odległość między pieszym a samochodem (mierzona oczywiście skośnie do kierunku jazdy)
\(\displaystyle{ l _{1}}\) - odległość początkowa samochodu od prostej prostopadłej do jezdni i przechodzącej przez punkt, w którym znajdował się na początku pieszy
\(\displaystyle{ l _{2}}\) - odległość początkowa pieszego od jezdni
\(\displaystyle{ v _{1} \cdot \frac{l _{2}}{v _{2} \cos \alpha} = \sqrt{d ^{2} - l _{2} ^{2}} - l _{2} \cdot \tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot \frac{50}{3 \cos \alpha} = \sqrt{200^{2} - 50^{2}} - 50 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)
\(\displaystyle{ 10 \cdot 50 = 50 \cdot \sqrt{4^{2} - 1^{2}} \cdot 3 \cdot \cos \alpha - 50 \cdot 3 \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 10 = 3\sqrt{15} \cdot \cos \alpha - 3 \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 3 \cdot \sin \alpha + 10 = 3\sqrt{15} \cdot \cos \alpha}\)
Podnosimy obie strony równania do kwadratu i mamy:
\(\displaystyle{ 9 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha + 100 = 9 \cdot 15 \cdot \cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ 9 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha + 100 = 9 \cdot 15 \cdot \left( 1 - \sin ^{2} \alpha\right)}\)
\(\displaystyle{ 144 \sin ^{2} \alpha + 60 \sin \alpha - 35 = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{\sqrt{1485} - 15 }{72}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac{\sqrt{1485} - 15 }{72} \approx 19,08 ^{\circ}}\)