Sprawdź różniczkowalność

[Lonc]

Chcę sprawdzić różniczkowalność funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0=0}\):

\(\displaystyle{ f(x)= (x^2-3) \cdot e^{|x|}}\)


Obliczenia:

\(\displaystyle{ f'(x_0)= \lim_{h \to 0+} \frac{[(0+h)^2-3] \cdot e^h - (0-3) \cdot e^0}{h}
= \lim_{h \to 0+} \frac{(h^2-3) \cdot e^h +3}{h} = [?]}\)

Co dalej? :c

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \left(h^2-3\right)e^{|x|}=h^2e^{|x|}-3e^{|x|}}\)
zwracam uwagę że obliczana granica jest pochodną prawostronną - dodatkowo należy obliczyć wartość pochodnej lewostronnej i sprawdzić, czy są one równe.

[Lonc]

Ok, ale
\(\displaystyle{ f^\prime \left(x_0\right)= \lim_{h \to 0+} \frac{\left[\left(0+h\right)^2-3\right] \cdot e^h - \left(0-3\right) \cdot e^0}{h}
= \lim_{h \to 0+} \frac{\left(h^2-3\right) \cdot e^h +3}{h} = \lim_{h \to 0+} \frac{ h^2 \cdot e^h -3 \cdot e^h +3}{h} = \left[ \frac{ 0 \cdot 1 - 3 + 3}{0+} \right] = \left[ \frac{0}{0}\right]}\)


edit:
Z de l'Hopitala wychodzi -3, lewostronna tak samo, czy to jest dobrze?

[Chromosom]

Rozumiem że jesteś na pierwszym roku, masz więc prawo pewnych rzeczy nie wiedzieć. Ale ja od razu mówię że nie ma czegoś takiego jak obliczanie wartości tej granicy za pomocą twierdzenia de l'Hospitala ponieważ jest to niepoprawne matematycznie.

Funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\), co można sprawdzić w dowolnym programie służącym do rysowania wykresów funkcji. Świadczy to jednoznacznie o błędnym obliczeniu granicy.

Granica \(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}}\) jest dosyć znaną granicą. Należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ e^h-1=\frac1t}\) i skorzystać z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\). Z jakiego podręcznika korzystacie na studiach?

[Lonc]

Granica \(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}}\) jest dosyć znaną granicą. Należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ e^h-1=\frac1t}\) i skorzystać z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\). Z jakiego podręcznika korzystacie na studiach?

Chromosomie, ale za co mam \(\displaystyle{ \frac{1}{t}}\) podstawic? podane przez Ciebie wyrazenie nie wystepuje w zapisie.. prosze, wytlumacz mi to krok po kroku, alurat ten przyklad w chwili obecnej mnie kompletnie przerasta.

Co do podrecznika to mamy kanon do wyboru, generalnie twierdzenia Dubnickiego + zbior Analiza Matematyczna, wydanie dwutomowe, w tej chwili nie mam mozliwosci sprawdzenia autora.

[Chromosom]

Pytam o podręcznik bo zastanawia mnie że nie macie podanej metody obliczenia tej granicy. Skąd w takim razie wiesz ile wynosi pochodna \(\displaystyle{ e^x}\)?

Podane wyrażenie występuje w tej granicy. Napiszę krótkie wyprowadzenie.

\(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}}\)

niech

\(\displaystyle{ e^h-1=\frac1t}\)
wtedy dla \(\displaystyle{ h\to0^+}\) mamy \(\displaystyle{ \frac1t\to0^+}\), zatem \(\displaystyle{ t\to+\infty}\), zachodzi również
\(\displaystyle{ h=\ln\left(1+\frac1t\right)}\)
i granica przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \lim_{t\to+\infty}\frac{\frac1t}{\ln\left(1+\frac1t\right)}=\lim_{t\to\infty}\frac{1}{\ln\left(1+\frac1t\right)^t}}\)
pozostawiam do samodzielnego dokończenia.

[Lonc]

Dalej źle

\(\displaystyle{ e^h-1= \frac{1}{t} \rightarrow 0+ \\
h=\ln \left( \frac{1}{t}+1\right) \rightarrow 0+ \\
\\
\lim_{ h\to 0+} = \frac{\left(h^2-3\right)e^h+3}{h} = \lim_{ h\to 0+} = \frac{\left(h^2-3\right)\left(e^h-1\right)+h^2-3+3}{h} = \lim_{ h\to 0+} \frac{\left(h^2-3\right)\left(e^h-1\right)+h^2}{h} = \left[ \frac{0}{0}\right]}\)

Wiem, że nie o to Ci chodziło, ale jednocześnie nie wiem jak powinno być prawidłowo..
Jeszcze takie drobne pytanie: czemu nie można de l'Hopitala zastosować? Na ćwiczeniach właśnie z jego pomocą były te granice obliczone, wyszło -3 i 3.

[bedbet]

Jeszcze takie drobne pytanie: czemu nie można de l'Hopitala zastosować?...

Chodzi o to, że korzystając z de L`Hospitala korzystasz z czegoś co masz udowodnić. Skąd wiesz licząc z wykorzystaniem tej reguły, że \(\displaystyle{ \left(e^x\right)^{'}=e^x}\)?

[Chromosom]

Wiem, że nie o to Ci chodziło, ale jednocześnie nie wiem jak powinno być prawidłowo...

Proszę zastosować podane przeze mnie przekształcenie. Resztę wyjaśniono.

[Lonc]

\(\displaystyle{ e^h-1= \frac{1}{t} \rightarrow 0+ \\
h=\ln \left( \frac{1}{t}+1\right) \rightarrow 0+ \\
\\
\lim_{ h\to 0+} = \frac{\left(h^2-3\right)e^h+3}{h} = \lim_{ h\to 0+} = \frac{\left(h^2-3\right)\left(e^h-1\right)+h^2-3+3}{h} = \lim_{ h\to 0+} \frac{\left(h^2-3\right)\left(e^h-1\right)+h^2}{h} = \\=
\lim_{ h\to 0+} \frac{\left(h^2-3\right)\left(e^h-1\right)}{h} + \lim_{ h\to 0+} \frac{\left(h^2\right)}{h} =
\lim_{h \to 0+ } \frac{(h^2-3) \frac{1}{t} }{\ln \left( \frac{1}{t}+1\right) } + \lim_{h \to 0+ } \ln \left( \frac{1}{t}+1\right) =

\lim_{h \to 0+ } \frac{(h^2-3) }{\ln \left( \frac{1}{t}+1\right)^t } + \lim_{h \to 0+ } \ln \left( \frac{1}{t}+1\right) =\\ = [ \frac{-3}{0+} + 0+ = - \infty}\)

?

[Chromosom]

Nie. Ogólnie zapis jest chaotyczny. Najpierw w zapisie znajduje się zmienna \(\displaystyle{ h}\), potem pojawia się \(\displaystyle{ t}\), a granica nadal jest obliczana przy \(\displaystyle{ h\to0}\).

Proponuję powtórzyć granice funkcji przed obliczaniem pochodnych. Tyle na dzisiaj. Przejrzyj zapis i spróbuj poprawić błędy. Jeśli nie dojdziesz do żadnego wniosku, wytłumaczę wszystko dokładniej.

[Lonc]

Proszę bardzo o pomoc, poza zamianą 'h' na 't' pod limesem nie mam pojęcia, co zrobić, żeby było dobrze..

[Chromosom]

Nie rozumiem dlaczego rozwiązujesz to zadanie w ten sposób. Tak jak mówiłem, przed badaniem różniczkowalności funkcji należy powtórzyć granice funkcji.

Proszę uprościć wyrażenie. W tym miejscu

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0+} \frac{\left(h^2-3\right) \cdot e^h +3}{h}}\)

należy wymnożyć nawias \(\displaystyle{ \left(h^2-3\right)e^h}\) i zastosować podane wcześniej przekształcenie.