całka nieoznaczona z e

[witek010]

Jak obliczyć:

\(\displaystyle{ \int \frac{e ^{2x}+2e ^{x} }{ \sqrt{7e ^{x}-10-e ^{2x} } }dx}\)

[Inkwizytor]

na początek podstawienie \(\displaystyle{ t=e^x}\)

[witek010]

na początek podstawienie \(\displaystyle{ t=e^x}\)

Ok to mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt}\)

Co mogę zrobić dalej?

[alfgordon]

82336.htm

[witek010]

Robię tak, czy idę w dobrym kierunku:

\(\displaystyle{ \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt = \int \frac{-\left( -t ^{2} + 7t -10 \right)' }{2 \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } + \int \frac{ \frac{11}{2}dt }{ \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } }}\)

Liczyć dalej czy już na początku złą metodę obrałem?

[alfgordon]

dobrze

[witek010]

Ok to idę dalej:

\(\displaystyle{ \int \frac{t+2}{ \sqrt{7t-10-t ^{2} } }dt = \int \frac{-\left( -t ^{2} + 7t -10 \right)' }{2 \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } + \int \frac{ \frac{11}{2}dt }{ \sqrt{-t ^{2} +7t -10 } } = -\sqrt{-t ^{2} +7t -10 } + \frac{11}{2}
\int \frac{dx}{ \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2} - \left( t - \frac{7}{2} \right) ^{2} } }
= -\sqrt{-t ^{2} +7t -10 } + \frac{11}{2} \arcsin\left( \frac{2t - 7}{3} \right) = -\sqrt{-e ^{2x} +7e ^{x} -10 } + \frac{11}{2} \arcsin\left( \frac{2e ^{x} - 7}{3} \right)}\)

Dobrze czy gdzieś zrobiłem błąd?

edit: poprawiłem zapis

[alfgordon]

plus stała
wydaje mi się, że dobrze