Granica do znaleźenia

[witek010]

Jak obliczyć poniższą granicę nie stosując reguły de l'Hospitala?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}\left( 2 - x - e ^{x} \right) ^{\frac{1}{x}}}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ \left( 2 - x - e ^{x} \right) ^{\frac{1}{x}}=\left[ \left( 1+(1 - x - e ^{x}) \right)^{\frac{1}{1-x-e^x}} \right] ^{\frac{1-x-e^x}{x}}}\)
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do \(\displaystyle{ e}\) (dlaczego?), wykładnik dąży do \(\displaystyle{ -2}\) (dlaczego?).

Q.

[witek010]

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do \(\displaystyle{ e}\) (dlaczego?)

Właśnie nie wiem, z jakiego wzoru to wynika?

[Qń]

Wskazówka: podstaw w nawiasie kwadratowym \(\displaystyle{ t=1-x-e^x}\) i zastanów się do czego wtedy dąży \(\displaystyle{ t}\).

Q.

[witek010]

Wskazówka: podstaw w nawiasie kwadratowym \(\displaystyle{ t=1-x-e^x}\) i zastanów się do czego wtedy dąży \(\displaystyle{ t}\).

Q.

Wtedy mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \left( 1 + t\right) ^{ \frac{1}{t} } = e}\)

Czyli to jest taki wzór?

[Qń]

Zgadza się. Wzór ten wynika pośrednio z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\).

Q.

[witek010]

A dlaczego wykładnik dąży do \(\displaystyle{ -2}\)? Bo tego to nie wiem zupełnie

[Qń]

Brakuje Ci do szczęścia granicy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}}\)

Zapewne miałeś ją na zajęciach przy wyprowadzeniu pochodnej z \(\displaystyle{ e^x}\), a jeśli nie, to bez problemu znajdziesz rachunek w sieci (na przykład na tym forum w Kompendium Analizy).

Q.

[witek010]

Wielkie dzięki za pomoc!