Witam,
Mam do zrobienia takie zadanie :
"na ile sposobów można rozmieścić 20 identycznych kul w pięciu różnych szufladkach tak, aby w każdej szufladce były przynajmniej 2 kule?"
Zrobiłem to za pomocą kombinacji z powtórzeniami, mianowicie :
\(\displaystyle{ C^{5}_{20}-(C^{0}_{20}+C^{1}_{20})}\)
Czy taki sposób obliczenia tego zadania jest poprawny?
Kombinacje z powtórzeniami.
-
Cybran
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 5 lut 2011, o 08:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 1 raz
Kombinacje z powtórzeniami.
Hej!
Nam ostatnio wykładowca podał taki wzór na rozmieszcznie przedmiotów w pudełkach:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)
Jest tak dlatego, że jak rozmieszczasz rzeczy w pudełkach, liczysz o jeden mniej niż jest pudełek. Pokazywał nam to na zasadzie "kresek" - liczysz kreski między pudełkami, w których coś jest, a nie same pudełka. Bo przecież możesz wrzucić do jednego pudełka po kilka rzeczy, a następne zostawić puste.
Ja Twoje zadanie widzę tak:
Masz 20 kulek. W każdym pudełku MUSI być co najmniej 2. Czyli 5*2=10. Na bank 10 kulek już powrzucałeś do tych pudełek tak, że w każdym pudełku jest po 2 kulki. Czyli one nas nie interesują, warunek jest spełniony.
Teraz zajmujemy się pozostałymi kulkami. Jest ich 10, możesz je powrzucać JAK TYLKO CI SIĘ PODOBA - warunek zadania jest spełniony, czyli równie dobrze możesz te wszystkie 10 kulek wrzucić do jednego pudełka i załatwione. Toteż będziemy liczyć tylko te pudełka, w których POZOSTAŁE kulki wylądują, a tych gdzie nie wylądują - nie.
Toteż stosujemy nasz wzór:
n= 10 kulek pozostało
k= 5 szufladek/pudełek (nie wszystkie musimy wykorzystać, a nawet jeśli, to "kresek"/"ścianek"/itp. je oddzielających będzie o 1 mniej).
Czyli:
\(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1}= {14 \choose 4}= \frac{14!}{(4!)(10!)}=1001}\)
Ja bym tak zrobił.
Powodzenia, daj znać czy coś mądrzejszego udało się wymyślić!
Nam ostatnio wykładowca podał taki wzór na rozmieszcznie przedmiotów w pudełkach:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)
Jest tak dlatego, że jak rozmieszczasz rzeczy w pudełkach, liczysz o jeden mniej niż jest pudełek. Pokazywał nam to na zasadzie "kresek" - liczysz kreski między pudełkami, w których coś jest, a nie same pudełka. Bo przecież możesz wrzucić do jednego pudełka po kilka rzeczy, a następne zostawić puste.
Ja Twoje zadanie widzę tak:
Masz 20 kulek. W każdym pudełku MUSI być co najmniej 2. Czyli 5*2=10. Na bank 10 kulek już powrzucałeś do tych pudełek tak, że w każdym pudełku jest po 2 kulki. Czyli one nas nie interesują, warunek jest spełniony.
Teraz zajmujemy się pozostałymi kulkami. Jest ich 10, możesz je powrzucać JAK TYLKO CI SIĘ PODOBA - warunek zadania jest spełniony, czyli równie dobrze możesz te wszystkie 10 kulek wrzucić do jednego pudełka i załatwione. Toteż będziemy liczyć tylko te pudełka, w których POZOSTAŁE kulki wylądują, a tych gdzie nie wylądują - nie.
Toteż stosujemy nasz wzór:
n= 10 kulek pozostało
k= 5 szufladek/pudełek (nie wszystkie musimy wykorzystać, a nawet jeśli, to "kresek"/"ścianek"/itp. je oddzielających będzie o 1 mniej).
Czyli:
\(\displaystyle{ {10+5-1 \choose 5-1}= {14 \choose 4}= \frac{14!}{(4!)(10!)}=1001}\)
Ja bym tak zrobił.
Powodzenia, daj znać czy coś mądrzejszego udało się wymyślić!