relacje binarne

[abcd1234]

Niech \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ s}\) będą binarnymi relacjami w zbiorze \(\displaystyle{ A}\). Które z następujących równości są prawdziwe dla dowolnych relacji \(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ s}\)? W przypadku gdy dana równość nie zawsze zachodzi, czy prawdziwa jest któraś z inkluzji \(\displaystyle{ \subseteq}\) lub \(\displaystyle{ \supseteq}\)

1) \(\displaystyle{ (r^{*})^{-1}}\) = \(\displaystyle{ (r^{-1})^{*}}\)

2) \(\displaystyle{ (r \cap s)^{*}}\) = \(\displaystyle{ r^{*} \cap s^{*}}\)

-- 6 lis 2011, o 13:02 --

Bardzo proszę, pomóżcie.

[Jan Kraszewski]

Co rozumiesz przez \(\displaystyle{ r^*}\)?

JK

[adambak]

pewnie domknięcie przechodnio - zwrotne..

[Jan Kraszewski]

Pewnie tak, ale wypadałoby to napisać...

JK

[dmjeh]

edit. Dobra juz zrobilem, nie wazne ;p

[grazyna19]

Mógłby mi ktoś pomóc chociaż zacząć dowód? Też mam problem z tym zadaniem. Wydaje mi się, że podpunkt a) jest prawdziwy ale nie wiem jak tego dowieść.

[dmjeh]

w a) mi sie wydaje, ze raczej powinnas szukac kontrprzykladu a na dodatek zadne zawieranie nie zachodzi. Tak mi sie wydaje

[grazyna19]

Hmm to będzie ciężko, bo wszystkie przykłady które byłam w stanie wymyślić spełniały tą równość...

[dmjeh]

poszlo pw

[adambak]

a jak z drugim?

[dmjeh]

drugie jest chyba tylko zawieranie z lewej na prawo

[adambak]

ale trzeba to pokazać jakoś na tych parach uporządkowanych, czy da się na poziomie samych \(\displaystyle{ r,s}\) itd?

[dmjeh]

bierzesz dow. \(\displaystyle{ x,y}\) t.ze \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle}\) nalezy do lewej strony, a potem to juz same rozpisywanie i zwijanie definicji ;p

[adambak]

niech \(\displaystyle{ \langle x;y \rangle \in (r \cap s)^{*}}\) ale jak to dalej ruszyć? z czego skorzystać?

[dmjeh]

czyli \(\displaystyle{ <x,y> \in 1 _{A} \cup r^{+}}\) i rozpatrujesz dwa przypadki