Granica funkcji do obliczenia

[witek010]

Jak obliczyć poniższą granice?

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }\left( \frac{1}{x} \right) ^{ \frac{1}{x} }}\)

[alfgordon]

\(\displaystyle{ a^b = e^{\ln a^b }}\)

policz granicę wykładnika (funkcja jest ciągła)

[witek010]

Czy to będzie coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\ln\left( \frac{1}{x} \right) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to \infty } \frac{1}{x}\ln \frac{1}{x}}\)

[alfgordon]

tak, tylko nie zapomnij wstawić tej granicy do wykładnika liczby \(\displaystyle{ e}\)

[witek010]

Czy to będzie coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\ln\left( \frac{1}{x} \right) ^{ \frac{1}{x} } = \lim_{ x\to \infty } \frac{1}{x}\ln \frac{1}{x}}\)

Ale jak dalej to obliczyć? Nie stosując de l'Hospitala

[witek010]

Czy ktoś ma jakiś pomysł? Jakąś podpowiedź?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\ln \frac{1}{x}=-\frac{\ln x}{x}}\)
a z kolei teraz mamy
\(\displaystyle{ \frac{\ln x}{x}=\frac{2\ln \sqrt{x}}{x}\le \frac{2\sqrt{ x}}{x}}\)
a dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) oczywistością jest, że \(\displaystyle{ \frac{\ln x}{x}\ge 0}\)
stąd, od pewnego \(\displaystyle{ x_0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ 0\le \frac{\ln x}{x}\le \frac{2}{\sqrt{x}}}\)

[witek010]

Ok dzięki, czyli rozwiązaniem będzie, że granica to \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{x} }}\)?

Czyli teraz to muszę wstawić jako wykładnik do liczby \(\displaystyle{ e}\) i rozwiązanie całego zadania z pierwszego posta to:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} }\left( \frac{1}{x} \right) ^{ \frac{1}{x} } = e ^{ \frac{2}{ \sqrt{x} } }}\)

[Lorek]

Ok dzięki, czyli rozwiązaniem będzie, że granica to \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{x} }}\)?

Ee, yy, to jakiś nowy sposób obliczania granic?

[witek010]

Aaa ok mój błąd. Czyli granicą będzie \(\displaystyle{ 0}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ e ^{0} = 1}\)