2 przykłady z granic

[lukmarc]

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x+\sqrt{5} }{x- \sqrt{5} } \right) ^x}\)

w tym wyjdzie \(\displaystyle{ \infty}\)? i jak to rozpisać

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sin ^ 2x }{x^2+x }}\)
czy licznik jest to \(\displaystyle{ 0^{+}}\) bez względu z której strony liczymy granice, mianownik to albo \(\displaystyle{ 0^- 0^+}\), jesli tak to ponownie moje pytanie dotyczy rozpisania tego przykładu, czy wynik \(\displaystyle{ \frac{0^+}{0^-}}\) jest nie określony

z góry dzięki

[alfgordon]

1) skorzystaj z definicji liczby \(\displaystyle{ e}\)
2) skorzystaj z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)

[lukmarc]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x+\sqrt{5} }{x- \sqrt{5} } \right) ^x}\)



\(\displaystyle{ = \frac{x-\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5} }{x-\sqrt{5}}=(1+ \frac{2\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}})^x=(1+ \frac{1}{ \frac{x-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} })^( \frac{x-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}})( \frac{2\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}})x= e^ \frac{2\sqrt{5}}{x-\sqrt{5}}x}\)



w ten sposób należy to rozpisać, trochę zapis jest nie wyraźni, w rozpisce po 3 znaku \(\displaystyle{ =}\) jest pierwszy nawias podniesiony do potęgi, która jest równa 2 pozostałym nawiasom razy \(\displaystyle{ x}\)

[piasek101]

Ciężko to czytać - niby coś w tym jest , ale w granicy nie może Ci (x) zostać (więc nie jest dobrze).

[lukmarc]

tyle i ja wiem, chciałbym raczej otrzymać informację czy jest prawidłowe te przejście w którym otrzymuje liczbe \(\displaystyle{ e}\)?

[alfgordon]

nie, ponieważ masz tam \(\displaystyle{ x}\)

zanim napiszesz tą ostatnią musisz obliczyć granicę wykładnika czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{2\sqrt{5}x}{x-\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}}\)

i dopiero piszesz wynik czyli:

\(\displaystyle{ e^{2\sqrt{5}}}\)