Przeprowadź dowdów ( sigma ciało )

[józef92]

Wykaż, że jeżeli zbiory A i B należą do sigma ciała \(\displaystyle{ B(\Omega)}\) to część wspólna zbiorów A i B też należy do sigma ciała \(\displaystyle{ B(\Omega)}\)

Biorę jakieś dwa zbiory:

\(\displaystyle{ A=\{a_{1},a_{2}\} \\ B=\{b_{1},b_{2}\}}\)

Łącząc je otrzymuję \(\displaystyle{ X=\{a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\}}\)

zatem \(\displaystyle{ \sigma = \{a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},(a_{1}a_{2}),(a_{1}b_{1}),(a_{1}b_{2}),(a_{2}b_{1}),(a_{2}b_{2}),(b_{1}b_{2}),(b_{2}b_{1}),(a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}),pusty\}}\)

Wiemy, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.

\(\displaystyle{ A \cup B =\{a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}\} \Rightarrow A\cup B \in \sigma(\Omega)}\)

Coś takiego wymyśliłem ;/

[Qń]

Biorę jakieś dwa zbiory:
\(\displaystyle{ A=\{a_{1},a_{2}\} \\ B=\{b_{1},b_{2}\}}\)

Ale przecież \(\displaystyle{ A,B}\) wcale nie muszą być dwuelementowe.

Skorzystaj raczej z tego, że \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało jest zamknięte z uwagi na sumowanie i dopełnianie oraz z prawa de Morgana.

Q.

[jetix]

\(\displaystyle{ A,B\in B(\Omega)}\)

Oczywiście z warunku 2 definicji sigma ciała również \(\displaystyle{ A',B'\in B(\Omega)}\).

Z warunku 3 definicji sigma ciała mamy \(\displaystyle{ A \cup B\in B(\Omega)}\) oraz \(\displaystyle{ A' \cup B'\in B(\Omega)}\)

Mamy również pozostałe sumy tych zbiorów ale nie będą nam one potrzebne.

Skoro sumy należą do sigma ciała \(\displaystyle{ B(\Omega)}\)to z warunku 2 definicji sigma ciała również przykładowo

\(\displaystyle{ (A' \cup B')'\in B(\Omega)}\)

Jednak mamy wykazać, że \(\displaystyle{ A \cap B\in B(\Omega)}\)

Zauważmy, że z prawa de Morgana dla zbiorów \(\displaystyle{ A \cap B=(A' \cup B')'}\)

Zatem \(\displaystyle{ A \cap B\in B(\Omega)}\)

[Qń]

To bardzo fajnie, że umiesz, naprawdę fajnie, dobrze, że się tym pochwaliłeś. :]

Ale autorowi wątku dużo więcej by dało, gdyby zamiast czytać gotowe rozwiązanie, spróbował sam zrobić to zadanie korzystając ze wskazówek.

Q.

[jetix]

Zróbcie oddzielny dział: "Potrzebuję jedynie wskazówki". Niech ludzie tam wrzucają zadania z każdej dziedziny matematyki. W pozostałych działach na forum obowiązywała by zasada: Zamieszczam treść zadania -> oczekuję pełnego rozwiązania.

I problem z głowy. Wilk syty i owca cała...

Pozdrawiam,
jetix

[Qń]

W rozumieniu większości trzeźwo myślących użytkowników zajmujących się tu pomaganiem - to forum nie służy do spełniania oczekiwań osób, które chcą żeby rozwiązać im zadanie (najczęściej pracę domową), tylko do pomocy w zrozumieniu poszczególnych zagadnień z matematyki.

I rzeczona większość trzeźwo myślących użytkowników zajmujących się tu pomaganiem - zazwyczaj nie ma problemu z rozstrzygnięciem kiedy należy naprowadzić na rozwiązanie, a kiedy zagadnienie jest na tyle skomplikowane, że lepiej podać je gotowe na tacy.

Q.

[jetix]

Zapewne masz rację.

Pozdrawiam,
jetix

[józef92]

Spokojnie, ja zawsze chcę tylko wskazówki bo lubię matematykę, a te rzeczy, które teraz robię to skok poziomu bo niby mam na to jeszcze czas, ale lepiej teraz lizać podstawy.

Pozdrawiam