Wyznaczyć największe sigma ciało

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 16:38

Mamy \(\displaystyle{ \Omega=\{a,b,c\}}\)

Skonstruuj największe sigma ciało \(\displaystyle{ B(\Omega)}\)

Proszę tylko o nakierowanie w myśl definicji.

1. \(\displaystyle{ pusty \in \sigma}\)??

Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru zatem tę część mamy spełnioną.

2. Tutaj się motam..

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 16:40

Największe sigma ciało czy najmniejsze?

Największe to oczywiście zbiór potęgowy \(\displaystyle{ \Omega}\).

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 16:41

Największe i chciałbym z Twoją pomocą zrobić to według aksjomatów.

1. Mam ok pierwszy warunek?-- 4 listopada 2011, 16:42 --Czyli korzystam z włąsności:

rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X – jest to z kolei największe σ-ciało na danym zbiorze,

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 16:42

Tak

EDIT:

Nie pamiętam własności. Znam 3 warunki na sigma ciało i wymyślam na bieżąco...

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 16:44

Teraz drugi warunek:

\(\displaystyle{ pusty \in \sigma \Rightarrow \Omega \in \sigma}\)

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 16:44

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 16:48

Teraz 3. \(\displaystyle{ a,b,c \in \sigma \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{3} A_{i} \in \sigma \Rightarrow a \cup b \cup c \in \sigma}\)

czyli \(\displaystyle{ \{a,b,c\} \in \sigma}\)

Tak?

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 16:56

Teraz jakie zbiory należą do \(\displaystyle{ \sigma(\Omega)}\)?

Ponieważ \(\displaystyle{ \sigma(\Omega) \subseteq \Omega}\) więc jeżeli konstruujemy największe sigma ciało możemy zażyczyć sobie by do \(\displaystyle{ \sigma(\Omega)}\) należały wszystkie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) a więc

\(\displaystyle{ \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\emptyset,\{a,b,c\}}\)

Oczywiście zbiory \(\displaystyle{ \emptyset,\{a,b,c\}}\) mamy już załatwione,w tym sensie że wiemy iż należą do \(\displaystyle{ \sigma(\Omega)}\).

Należy sprawdzić czy pozostałe dwa warunki sigma algebry są spełnione a więc czy:

\(\displaystyle{ A\in\sigma(\Omega) \Rightarrow A'\in\sigma(\Omega)}\)

oraz

\(\displaystyle{ \forall i\in\{1,2,\ldots,n\} A_{i}\in\sigma(\Omega) \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \in\sigma(\Omega)}\)

U Ciebe te warunki są spełnione!

-- 4 lis 2011, o 16:59 --

BTW najmniejsze sigma ciało \(\displaystyle{ B(\Omega)}\) to

\(\displaystyle{ B(\Omega)=\{\emptyset,\{a,b,c\}\}}\)-- 4 lis 2011, o 17:01 --BTW 2. Warunki 2 i 3 zazwyczaj w zadaniach (o ile dobrze pamiętam) wykorzystuje się do tego, że masz dane \(\displaystyle{ \Omega}\) i jakiś jej podzbiór. Polecenie brzmi uzupełnij ten podzbiór tak aby był sigma ciałem. Wówczas trzeba korzystać z warunków 2 i 3. Jak konstruujesz od podstaw sigma ciało to raczej nie ma z tym problemów.

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 17:02

jetix, A te POZOSTAŁE dwa warunki wywnioskowałeś sam czy jest to gdzieś sformalizowane?

jetix · Post autor: **jetix** » 4 lis 2011, o 17:05

Przeczytaj moje posty powyżej bo trochę edytowałem.

Sigma ciało to inaczej sigma algebra. Definicja jest chociażby na wikipedii i w każdej książce do rachunku prawdopodobieństwa. Nie dedukowałem tych warunków sam.

józef92 · Post autor: **józef92** » 4 lis 2011, o 17:08

Rozumiem, lece dalej edukować się -- 4 listopada 2011, 17:08 --Rozumiem, lece dalej edukować się