Wykazać prawdziwość nierówności.

[Hołek]

Udowodnij, że jeżeli nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+px +q > 0}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami całkowitymi, zachodzi dla każdej liczby całkowitej x, to zachodzi ona dla każdej liczby rzeczywistej x.

[bartek118]

Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ q>0}\). Hmm... tylko czy to coś daje... Spróbowałbym zrobić to tak, że jeśli nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ a+1}\), to że zachodzi dla wszystkich pomiędzy tymi liczbami...

[Hołek]

ale co ma q do p ?

[ares41]

Zauważ, że aby powyższe równanie zachodziło dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) trójmian kwadratowy musi być postaci \(\displaystyle{ (x+a)^2}\), z czego wynika, że mamy do pokazania, że zachodzi \(\displaystyle{ p^2=4q}\)

[bartek118]

Zauważ, że aby powyższe równanie zachodziło dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) trójmian kwadratowy musi być postaci \(\displaystyle{ (x+a)^2}\), z czego wynika, że mamy do pokazania, że zachodzi \(\displaystyle{ p^2=4q}\)

Nie byłbym taki pewien co do tego. Aby nierówność zachodziła, to ten trójmian musi być postaci \(\displaystyle{ (x+a)^2 + b}\), gdzie \(\displaystyle{ b>0}\)

[Hołek]

a może udowodnić, że delta jest mniejsza niż zero... pokazać, że liczby są całkowite, jak wynika z wzorów Vietea... ? hmm, to jest myśl

[bartek118]

Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest parzyste, to podstawienie \(\displaystyle{ x = \frac{-p}{2}}\) rozwiązuje zadanie

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest parzyste, to podstawienie \(\displaystyle{ x = \frac{-p}{2}}\) rozwiązuje zadanie

A jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzyste, to zadanie rozwiązuje podstawienie \(\displaystyle{ x=\frac{-p+1}{2}}\), dostajemy bowiem po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ 1+4q>p^2}\)
czyli z uwagi na to, że \(\displaystyle{ p,q}\) całkowite:
\(\displaystyle{ 4q\ge p^2}\)
Ale równość \(\displaystyle{ 4q=p^2}\) nie może zachodzić z uwagi na nieparzystość \(\displaystyle{ p}\), tak więc:
\(\displaystyle{ 4q>p^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ p^2-4q<0}\)

Q.