LXIII Olimpiada Matematyczna - I Etap

[chechlacz]

Pojawiły się rozwiązania zadań z pierwszej serii:

[cyberciq]

Zadania opisujecie tak samo jak na OMG kazali czyli adres,klasa,adres i nazwa szkoly i email -lewy górny róg i w prawym górnym nr zadania i ewentualnie strona x z y?

[adri]

Rozwiązania poszczególnych zadań powinny być na oddzielnych arkuszach, zapisanych jednostronnie. W lewym górnym rogu każdego arkusza powinno znajdować się imię i nazwisko. Dodatkowo, w lewym górnym rogu każdego pierwszego arkusza danego zadania powinny znajdować się:

adres domowy
pełna nazwa szkoły
adres szkoły
klasa, do której się uczęszcza

[cyberciq]

adri, dzięki, już wiem jak to jest gdy się szuka w regulaminie czegoś i się nie umie tego znaleźć.

[silicium2002]

Witam i proszę o uwagę.

Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.

Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.

Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban

Sylwku - mylisz się - taka sytuacja jest niezgodna z prawem i raczej nie może mieć miejsca, już mówię dlaczego. Poczta Polska jest zobowiązana to przybicia pieczątki zgodnie z stanem faktycznym daty i godziny. Oraz jest zobowiązana umieścić taką informację przy każdym okienku. Jeśli gdzieś poczta przybija pieczątki "wstecz", to jest to działanie niezgodne z prawem.

[Myrthan]

Witam i proszę o uwagę.

Od tego momentu ewentualne rozwiązania kolejnych serii zadań z OM i OMG proszę umieszczać najwcześniej 8 godzin po upłynięciu terminu wysyłki danej serii rozwiązań, np. jeśli II seria I etapu bieżącej (63.) OM kończy się dnia 3 XI 2011, to NIE WOLNO wrzucać rozwiązań przed 4 XI 2011, godz. 8:00.

Spowodowane jest to sytuacjami na pocztach w większych miastach, gdzie ustawiając się w (długiej) kolejce przed północą, można nawet ok. 2:00 dostać pieczątkę z datą dnia poprzedniego.

Nieprzestrzeganie będzie powodowało ban

Sylwku - mylisz się - taka sytuacja jest niezgodna z prawem i raczej nie może mieć miejsca, już mówię dlaczego. Poczta Polska jest zobowiązana to przybicia pieczątki zgodnie z stanem faktycznym daty i godziny. Oraz jest zobowiązana umieścić taką informację przy każdym okienku. Jeśli gdzieś poczta przybija pieczątki "wstecz", to jest to działanie niezgodne z prawem.

Nigdy się nie spotkałeś z łamaniem prawa w Polsce? To trochę naiwne, poza tym nie mówimy że z zasady tak jest ale może się tak zdarzyć, oddziałów jest bardzo dużo. Przezorny zawsze ubezpieczony.

[Acros]

Tia , każdy czatuje o 24 na mega kolejkę na poczcie z laptopem i papierem kancelaryjnym , żeby ktoś szybko wrzucił zadania i żeby spisać
Ale przepisy to przepisy ;/

[Emce1]

Acros - zdziwiłbyś się :p

[Marcinek665]

No ja przepisywałem wszystkie zadanka parę godzin temu i wysłałem ostatecznie o 21:00. Tak czy siak było to przed północą

[Emce1]

Będę przestrzegał regulaminu, więc swoje rozwiązania wrzucę za parę godzin, ale myślę, że mogę napisać, i teraz nikomu to już nie "pomoże", że 2 seria było całkiem ok. Zadanie z ciągiem i klockami się mnie spodobały, planimetria syfiasta, zupełnie mi się nie podoba, funkcja jak to funkcja, bleh.

[Marcinek665]

Dla mnie druga seria reprezentowała "przeciętny" poziom olimpijski. Przyjemne zadanka, które nie idą w sekundę, ale trzeba nad nimi trochę pomyśleć.

[Panda]

Mnie się wydały zadania dość proste, ale możliwe że po prostu lepsze dni miałem gdy je kminiłem

5 - Sporo nad nim przesiedziałem, bo pominąłem słowo "różne". gdy je zauważyłem, rozwiązanie było na tacy. Wydaje mi się proste i faktycznie ludzie je robili dość szybko.

6 - Boję się plani, ale tej nie trzeba się bać. Niestety, nic ciekawego. Albo moje rozwiązanie nieciekawe, ale to tak jak z Pitagorasem w trzecim

7 - Przyjemne, chociaż dużo do pisania. I jeden szkopuł, o którym napiszę za kilka godzin

8 - Ponoć ludzie mieli problemy, było od groma blefów u moich znajomych, niektórzy zaś nie mieli większych problemów. Dla mnie zadanie bardzo przyjemne, pewnie najlepsze w tej serii.

Ja swoje wrzucę rano lub koło 14. Podzielam zdanie kolegi, że nie ma sensu czekać z opiniami do rana.

[adamm]

IMO cała seria prezentowała sobą przyzwoity poziom. W każdym razie zeszłoroczny pierwszy etap wciąż wydaje mi się ciekawszym pod względem postawionych problemów. Może ze względu na emocje związane z pierwszym startem w OMie, a może przez tegoroczną geometrię która wydaje mi się lekko nudnawa.

[dedeluszz]

No dobra wrzucać rozwiązania zadań ^^ hehe chwalcie się

[Panda]

Dobra!

8 -

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x = t+f(t)}\), \(\displaystyle{ y= -f(t)}\). Otrzymujemy tożsamość \(\displaystyle{ f(x+f(x))=0}\). Dając \(\displaystyle{ y=0}\) mamy dzięki temu \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-1}\). \(\displaystyle{ f(x)=-1}\) można wykluczyć korzystając z kwadratu - po prawej otrzymamy \(\displaystyle{ 1}\) a po lewej funkcję, co da sprzeczność.

Inne rozwiązanie to zauważenie, że zachodzi implikacja \(\displaystyle{ y=-f(x+y) \Rightarrow f(x)=0}\). Jak się zamieni znak \(\displaystyle{ y}\) i podstawi dla wygody \(\displaystyle{ t=x-y}\) otrzymamy to samo, czyli \(\displaystyle{ y=f(t) \Rightarrow f(t+y)=0}\), co - jako, że \(\displaystyle{ t}\) przybiera wszystkie wartości z dziedziny funkcji - daje nam \(\displaystyle{ f(t+f(t))=0}\).

7 -

Ukryta treść:    

Najpierw zauważamy, że ilość pól podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\). Potem malujemy na dwa kolory szachownicę jak szachownicę, patrzymy ile pól pokrywa klocek i wnioskujemy, że każdym kolorem pomalowana jest parzysta ilość pól, zatem dodatkowo ilość pól jest podzielna przez \(\displaystyle{ 12}\).
Teraz rozpatrzmy przypadek, kiedy ani \(\displaystyle{ m}\) ani \(\displaystyle{ n}\) nie jest podzielne przez 4. Malujemy planszę czterema kolorami, by w każdym kwadracie było dokładnie jedno pole danego koloru. Ilość pól pomalowanych kazdym kolorem jest taka sama i nieparzysta. Natomiast, klocek zajmuje parzystą ilość pól pomalowaną każdym z kolorów, co daje sprzeczność jak poprzednio.

Pozostałe przypadki, prawie wszystkie, pokazujemy konstruując prostokąty z prostokącików \(\displaystyle{ 3x4}\). Jeśli jeden z wymiarów jest podzielny przez \(\displaystyle{ 12}\), możemy ułożyć paski, przyjmijmy że \(\displaystyle{ 12kx4}\) i \(\displaystyle{ 12kx3}\) i z nich układamy. Da się wszystko, poza...\(\displaystyle{ 12k x 5}\). To jest właśnie ten szkopuł Nie znalazłem eleganckiego dowodu, pałowałem po narożniku ogromem przypadków. Może ma ktoś? Byłbym ogromnie zainteresowany i pewnie nie tylko ja. Ciekawi mnie też wzorcówka jaka będzie

5-

Ukryta treść:    

Spoglądamy na maksimum i idziemy do przodu - każde pole jest mniejsze, a zarazem zwiększone o \(\displaystyle{ 1}\) jest wielokrotnością, czyli mniejsze dokładnie o \(\displaystyle{ 1}\). To samo z następnymi, bo nie może się pojawić nic większego, bo większe zostały zużyte. Razem mamy \(\displaystyle{ 6 \cdot 63}\) tych ciągów, bo jeszcze jest prosta relacja między największym i najmniejszym.

6-

Ukryta treść:    

Najpierw dowodzimy, że środek okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) leży na jednym okręgu, na drugim okręgu, a potem, że kąt jest \(\displaystyle{ 180^{0}}\), czyli że są współliniowe. To nam da styczność w tym punkcie. Wszystko poza zastanowieniem się, czego dowodzić, to liczenie na kątach.