wykazać ciągłość funkcji liniowej

[lukmarc]

Witam, mam małe wątpliwości co do tego zadanka:
Wykazać, że dana funkcja jest ciągłą w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,\infty)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= 2x^3-3x+2}\)
wystarczy, że oblicze granice w \(\displaystyle{ (-\infty,\infty)}\) o potem wykażę, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(/infty)=f(/infty)?}\)
z góry dzięki-- 1 lis 2011, o 18:55 --

[Lorek]

Akurat \(\displaystyle{ \infty \notin (-\infty, \infty)}\), więc nie ma tam co badać ciągłości (pomijając już inne aspekty). Funkcja jest ciągła w przedziale, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Musisz więc pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R}}\) funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\).

[piotrek90]

nie bardzo rozumiem. jeśli udowodnimy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_{o}}\) jest ciągła, to nadal nie dowodzi to, że jest ciągła we wszystkich punktach tego przedziału

[Lorek]

Gdyż?

[piotrek90]

Gdyż w tym wybranym przez nas punkcie może być ciągła, a w innych punktach przedziału już nie.
np. weźmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -2;6 \right\rangle}\)

wybierzemy dowolny punkt, np. 2 - jest tam ciągła, ale co z tego skoro nie jest ciągła w 0?

Nie jest to jednak zbyt dobry przyklad. Z tego wzgledu, ze na pierwszy rzut oka widzimy, który punkt podejrzany jest o nieciągłość. Co jednak jeśli nie wiemy?




dla mnie to zdanie

Musisz więc pokazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R}}\) funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\).

to prawie tak, jakbys mial orzekac czy sinus na przedziale od 0 do pi jest rosnacy czy malejacy, i dowiódłbyś, ze no faktycznie, jest rosnący w przedziale od np. pi/6 do pi/4, wobec tego jest rosnący na calym przedziale od 0 do pi. (a jak wiadomo jest i rosnacy i malejacy)


chyba ze zle Ciebie rozumiem (to mozliwe. nie jestem pewien jak należy zobić to zadanie)

[Lorek]

np. weźmy funkcję \(\displaystyle{ f(x) = sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -2;6 \right\rangle}\)

wybierzemy dowolny punkt, np. 2 - jest tam ciągła, ale co z tego skoro nie jest ciągła w 0?

Po pierwsze to ta funkcja nie jest nawet określona w 0, więc ciężko mówić tu o ciągłości lub nie.
Po drugie taka jest dokładnie definicja ciągłości na zbiorze: funkcja jest ciągła na zbiorze jak jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

to prawie tak, jakbys mial orzekac czy sinus na przedziale od 0 do pi jest rosnacy czy malejacy, i dowiódłbyś, ze no faktycznie, jest rosnący w przedziale od np. pi/6 do pi/4, wobec tego jest rosnący na calym przedziale od 0 do pi. (a jak wiadomo jest i rosnacy i malejacy)

Chyba coś ci się pomyliło. Co ma jedno z drugim wspólnego? Jakbym napisał wystarczy, że sprawdzisz, że jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ [0,5]}\), to wtedy będzie ciągła na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to by twoja argumentacja pasowała, ale tak to jak powiązać jedno z drugim?

Ach, chyba wiem co się gryzie, słowo dowolnego. W każdym razie chodzi tutaj o dowolnego w sensie każdego.

[piotrek90]

dzięki, świetny post! serio, dokladnie zrozumiales o co mi chodziło (miałem nawet podkreślić to słowo - dowolne)

Po pierwsze to ta funkcja nie jest nawet określona w 0, więc ciężko mówić tu o ciągłości lub nie.

sluszna uwaga, to fakt, ze ta funkcja jest nieokreslona. wlasnie nawet sprawdzilem specjalnie, czy w takim przypadku mowimy o ciaglosci lub nie - napisane było, ze przyjmuje się, ze jest nieciągła. choc to byla wikipedia albo cos powiazanego z wikipedią, wiec mogl byc błąd. sklaniam się zdecydowanie ku twojej wersji

Po drugie taka jest dokładnie definicja ciągłości na zbiorze: funkcja jest ciągła na zbiorze jak jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Tej definicji się nie czepiałem
znałem ją i nie budziła wątpliwości.

Ach, chyba wiem co się gryzie, słowo dowolnego. W każdym razie chodzi tutaj o dowolnego w sensie każdego.

no właśnie o to mi chodziło, dzięki za rozjaśnienie.


A mógłbyś po prostu pokazać, jak należy rozwiazac taki przyklad? Bo nie mam pojęcia, jak to sprawdzić dla kazdego.....
Zwykle jest polecenie, żeby wykazac, w ktorym punkcie nie jest ciagla albo cos podobnego, a z takim zadaniem się jeszcze nie zetknąłem.

Po prostu wiem, ze funkcje wielomianowe są ciągłe (choc to tez nie do konca jasne dla mnie, wydaje mi się, ze nie wszystkie są takie), zresztą widać na oko...lecz na oko to chlop w szpitalu umarl

pzdr

[Lorek]

Najłatwiej to chyba z definicji Heinego. Ustalmy punkt \(\displaystyle{ x_0}\). Weźmy dowolny ( ) ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x_0}\). Sprawdźmy do czego dąży \(\displaystyle{ f(x_n)}\). Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}(2x_n^3-3x_n+2)}\)
korzystamy z działań na granicach (granica sumy jest sumą granic, to samo z iloczynem, możliwość wyłączenia stałej)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to\infty}(2x_n^3)-\lim_{n\to\infty}(3x_n)+\lim_{n\to\infty}2=\\=2(\lim_{n\to\infty}x_n)^3-3(\lim_{n\to\infty}x_n)+2=2x_0^3-3x_0+2=f(x_0)}\)
jak łatwo się domyślić dla dowolnego wielomianu będzie podobnie.

[piotrek90]

super, dzięki ;D