Dwie granice ciągów

matih32 · Post autor: **matih32** » 31 paź 2011, o 23:50

Oblicz granice ciągów:

1) \(\displaystyle{ \left( 0,9999 + \frac{1}{n} \right) ^n}\)

2) \(\displaystyle{ \left( 1,0001 - \frac{1}{n} \right) ^n}\)

Kojarzą się z ciągiem Eulera, ale oczywiście nim nie są. Ktoś wie jak to ruszyć ?

adambak · Post autor: **adambak** » 31 paź 2011, o 23:58

naprawdę Ci się kojarzą z ciągiem Eulera tzn \(\displaystyle{ a_n=n^2-n+41}\), gdzie 40 pierwszych wyrazów to liczby pierwsze? bo mi nie..

a tak na poważnie to również chętnie bym poznał metodę znajdywania takich granic, bo ciężko to ruszyć..

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 1 lis 2011, o 00:01

adambak pisze: a tak na poważnie to również chętnie bym poznał metodę znajdywania takich granic, bo ciężko to ruszyć..

Cieżko? w pierwszym na przykład wystarczy zauważyć że od pewnego n zachodzi:

\(\displaystyle{ (0.9999+ \frac{1}{n})^n \le (0.99995)^n}\)

granica zero jak byk i drugie podobnie lecz w drugą stronę.

macieq44 · Post autor: **macieq44** » 2 lis 2011, o 12:01

Jeżeli chcemy się bawić z liczbą Eulera, to należałoby zrobić to w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{1}{10000}+\frac{1}{n} \right )^n=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{10000-n}{10000n} \right )^n=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{10000n}{10000-n}} \right )^n=\lim_{n \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{10000n}{10000-n}} \right )^{\frac{10000n}{10000-n}}\right]^{\frac{10000-n}{10000n} \cdot n}=e^{\lim_{n \to \infty}10000-n}=e^{-\infty}=\left(\frac{1}{e}\right)^{\infty}=0}\)

drugie analogicznie do tego

Post autor: **Lorek** » 2 lis 2011, o 12:50

Fajnie, tyle, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{10000n}{10000-n}} \right )^{\frac{10000n}{10000-n}}=0.9999^{-10000}\neq e}\)

macieq44 · Post autor: **macieq44** » 2 lis 2011, o 22:43

zamiast sarkastycznych postów, bardziej pomocne byłyby jakieś wytłumaczenia.

pomijając Twój sarkazm i dochodząc do wniosku, iż raczej od Ciebie tej informacji nie uzyskam, zacząłem drążyć w google. tak też, jeżeli wyrażenie w nawiasie dąży do 1, to granicę liczy się tak jak, to się robi licząc liczbę Eulera. Natomiast, jeśli wyrażenie to dąży do liczby mniejszej od 1, to granica ta będzie wynosić 0.

A... Jeśli można wiedzieć, to skąd wzięło się to 0,9999 do potęgi -10000? bo jakoś nie pasuje mi to troszku :[ co do czego podstawiłeś?

ymar · Post autor: **ymar** » 2 lis 2011, o 22:52

macieq44 pisze: A... Jeśli można wiedzieć, to skąd wzięło się to 0,9999 do potęgi -10000? bo jakoś nie pasuje mi to troszku :[ co do czego podstawiłeś?

Macieq, nie chce mi się przekształcać, ale mogę Ci powiedzieć, na czym polega błąd w Twoim rozumowaniu. Twierdzenie mówi, że jeżeli \(\displaystyle{ a_n \rightarrow \infty,}\) to

\(\displaystyle{ \left (1+\frac{1}{a_n}\right )^{a_n}\rightarrow e.}\)

Twoje \(\displaystyle{ a_n}\) dąży do liczby dodatniej.

edit: literówka. Brakło potęgi w twierdzeniu.

Post autor: **Lorek** » 2 lis 2011, o 23:33

macieq44 pisze:tak też, jeżeli wyrażenie w nawiasie dąży do 1, to granicę liczy się tak jak, to się robi licząc liczbę Eulera. Natomiast, jeśli wyrażenie to dąży do liczby mniejszej od 1, to granica ta będzie wynosić 0.

Też nie. Jak mamy symbol \(\displaystyle{ 1^\infty}\) to wtedy możemy poszukać \(\displaystyle{ e}\). A jak mamy coś innego, to sprawdzamy co mamy.

A... Jeśli można wiedzieć, to skąd wzięło się to 0,9999 do potęgi -10000? bo jakoś nie pasuje mi to troszku :[ co do czego podstawiłeś?

No właśnie tutaj sprawdzamy co mamy, w nawiasie i potędze mamy skończone liczby, więc wynikiem jest jedno do potęgi drugiej (no, może nie do końca jest tak prosto, ale tu jest).