Obliczanie wielomianów

[horbas36]

zad.1
Dla jakich wartości x iloraz
\(\displaystyle{ \frac{x^{3}-7x^{2}+3x-21}{x^{2}+4x-5}}\)
jest liczbą ujemną.

zad.2
Dany jest wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=(5x^{3}-3x-2)^{10}}\)
Oblicz sumę wszystkich współczynników tego wielomianu.

Z góry proszę tylko o wskazówki, a nie o całe rozwiązania, gdyż nie mam żadnej satysfakcji w przepisywaniu zadania Z góry wielkie dzięki.

[kamil13151]

1) Rozwiąż: \(\displaystyle{ \frac{x^{3}-7x^{2}+3x-21}{x^{2}+4x-5}<0}\)
2) Suma współczynników wynosi \(\displaystyle{ W(1)}\), zastanów się dlaczego.

[horbas36]

Odnośnie podpunktu 1) taki własnie zapis zrobiłem, zanim tutaj napisałem, policzyłem delte, a później zastanawiałem się czy dobrze robię. Oczywiście mianownik musi być \(\displaystyle{ \neq 0}\)
EDIT: Po wyliczeniach, w liczniku wyszło mi \(\displaystyle{ x-7(x^{2}+3)}\) a w mianowniku po wyliczeniu delty \(\displaystyle{ x_{1}=-5 \vee x_{2}=1}\)
Co do podpunktu 2), to właśnie myślałem, że rozwiązaniem będzie 0, ale z drugiej strony wydawało mi się to zbyt banalne i szukałem innego rozwiązania. Chciałem to wymnażać, a to wystarczyło rozwiązać to: \(\displaystyle{ 5-3-2}\). Czy moje rozumowanie jest dobre?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \frac{x^{3}-7x^{2}+3x-21}{x^{2}+4x-5}= \frac{(x-7)(x^2+3)}{(x-1)(x+5)}}\)

Teraz do rozwiązania: \(\displaystyle{ (x-7)(x^2+3)(x-1)(x+5)<0}\).

Co do drugiego to tak, suma będzie wynosić 0.

[horbas36]

Odnośnie 1) Dlaczego wszystkie nawiasy ustawiłeś "na jednym poziomie"? W takim przypadku odpowiedź wyszła mi taka: \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-5) \cup (1,7)}\)
Odnośnie 2), nie ważne jaka byłaby potęga ( oprócz zerowej ), to i tak chodzi o zsumowanie współczynników w nawiasie tak?

[kamil13151]

Tak rozwiązujemy nierówności wymierne \(\displaystyle{ \frac{a}{b} >0 \Leftrightarrow ab>0}\), mnożymy przez kwadrat mianownika i dostajemy taką formę.

Tak i potem podnosimy do tej potęgi, w tym przypadku \(\displaystyle{ 0^{10}=0}\).