O skażonym basenie

[Harry Xin]

Basen o pojemności 10 000 litrów zawiera 1000 litrów czystej wody. Do basenu wlewa się woda o skażeniu 50% z prędkością 20 litrów na minutę. Przez otwór spustowy ciecz wylewa się z prędkością 10 litrów na minutę. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika.

Czy może ktoś to sprawdzić?

\(\displaystyle{ y\left(t\right)}\) - ilość wody skażonej w basenie w chwili \(\displaystyle{ t}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ y^{\prime}\left(t\right)}\) - szybkość zmiany ilości wody skażonej w basenie w chwili \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ \frac{y\left(t\right)}{1000+10t}\cdot10=\frac{y\left(t\right)}{100+t}\frac{l}{min}}\) - ze zbiornika wypływa wody skażonej
Do zbiornika wpływa wody skażonej: \(\displaystyle{ 50\%\cdot20\frac{l}{min}=10\frac{l}{min}}\)

RR: \(\displaystyle{ y^{\prime}\left(t\right)=10-\frac{y\left(t\right)}{100+t}}\)
(WP) \(\displaystyle{ y\left(0\right)=0}\)

[bartlomiejn]

Jeżeli chodzi o wypływającą wodę skażoną, to w mianowniku musisz mieć całą ilość wody = skażona + czysta, zatem \(\displaystyle{ 1000 + 20t}\). (Czystej oczywiście wypływa \(\displaystyle{ 10 \frac{1000+20t-y(t)}{1000+20t}}\)).

[Harry Xin]

Mam rozumieć, że poniższa postać jest OK?
\(\displaystyle{ \frac{y\left(t\right)}{1000+20t}\cdot10=\frac{y\left(t\right)}{100+2t}\frac{l}{min}}\) - ze zbiornika wypływa tyle wody
Do zbiornika wpływa wody skażonej: \(\displaystyle{ 50\%\cdot20\frac{l}{min}=10\frac{l}{min}}\)

RR: \(\displaystyle{ y^{\prime}\left(t\right)=10-\frac{y\left(t\right)}{100+2t}}\)
(WP) \(\displaystyle{ y\left(0\right)=0}\)

[osob]

Przepraszam, że odgrzebuję stary temat, ale nie mogę sobie poradzić z tym właśnie zadaniem...
Czy równanie 'Harry Xin' jest dobre ? Rozwiązując je wychodzi mi
\(\displaystyle{ y(t) = \frac{-5t^2+1000t}{100-t}}\)
Zbiornik uzupełni się po 900 minutach, więc \(\displaystyle{ y(900) \approx 4000 \Rightarrow odp: \approx 40 \%}\)
W odpowiedzi jest 49,5% ..
Z podpowiedzią 'bartlomiejn' wychodzi mi ujemna liczba pod pierwiastkiem, przy wstawianiu tych 900 ...

Możliwe, że się pomyliłem gdzieś, bo o to nietrudno, ale już tyle razy sprawdzałem, że mi ręce opadają ...Bardzo proszę o jakąś podpowiedź..

PS Znalazłem rozwiązanie tu:
https://www.matematyka.pl/186494.htm
Trochę inne podejście i ok, ale gdzie w w/w rozumowaniu są błędy ?

[wallace]

Mimo, że zadanie to było napisane kilka lat temu to warto dodać, że równanie różniczkowe podane przez Harry Xin na wstępie tego postu jest jak najbardziej poprawne:

\(\displaystyle{ y^{\prime}\left(t\right)+\frac{y\left(t\right)}{100+t}=10}\)

Metodą czynnika całkującego otrzymamy równanie:

\(\displaystyle{ y(t) = \frac{1000t + 5t^{2}}{100+t}}\), czyli \(\displaystyle{ y(900) = 4950}\)