1) W klasie Ia jest 36 uczniów, wśród których: 26 zna język angielski, 23 zna język francuski i 24 zna język rosyjski. Czy w klasie Ia jest uczeń, który zna wszystkie trzy języki?
2) W klasie Ib jest 34 uczniów, wśród których: 24 umie jeździć na rowerze, 16 umie pływać, 10 umie jeździć na nartach; w tej liczbie 12 umie pływać i jeździć na rowerze, 5 umie jeździć na rowerze i na nartach, 3 umie pływać i jeździć na nartach. Dwie osoby w Ib uprawiają wszystkie wymienione dyscypliny sportowe.
a) Ile osób w klasie Ib nie uprawia żadnej dyscypliny sportowej?
b) Ile osób umie tylko jeździć na rowerze?
c) Ile osób umie pływać i jeździć na nartach?
zadania z uczniami
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
zadania z uczniami
\(\displaystyle{ 1.\\
A=26;\quad F=23;\quad R=24;\quad \Omega=36\\
A \cup F \cup R= \Omega}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Minimalna liczba uczniów znających dwa języki:}\\
\Omega=A \cup F = A+F-A \cap F\\
A \cap F = A+F-\Omega\\
A \cap F =26+23-36=13}\)
\(\displaystyle{ \Omega=A \cup R = A+R-A \cap R\\
A \cap R = A+R-\Omega\\
A \cap R =26+24-36=14}\)
\(\displaystyle{ \Omega=F \cup R = F+R-F \cap R\\
F \cap R = F+R-\Omega\\
F \cap R =23+24-36=11}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Minimalna liczba uczniów znających trzy języki:}\\
\Omega=A \cup F \cup R = A+F+R-A \cap F-A \cap R-F \cap R+A \cap F \cap R\\
A \cap F \cap R=\Omega-A-F-R+A \cap F+A \cap R+F \cap R\\
A \cap F \cap R=36-26-23-24+13+14+11=1}\)-- 31 paź 2011, o 22:10 --\(\displaystyle{ 2.\\
R=24;\quad P=16;\quad N=10;\quad \Omega=34\\
R \cap P=12;\quad R \cap N=5;\quad P \cap N=3\\
R \cap P \cap N=2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{a})\\
\left( R \cup P \cup N\right)' - \mbox{ osoby nie uprawiające żadnego sportu}\\
\left( R \cup P \cup N\right)'=\Omega-R \cup P \cup N\\
R \cup P \cup N=R+P+N-R \cap P-R \cap N-P \cap N+R \cap P \cap N=\\
=24+16+10-12-5-3+2=32\\
\left( R \cup P \cup N\right)'=34-32=2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{b})\\
R \setminus P \setminus N - \mbox{ osoby umiejące tylko jeździć na rowerze}\\
R \setminus P \setminus N = R \setminus\left(P \cup N\right) = R \setminus \left( R \cap \left(P \cup N\right)\right)=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)\cup\left(R \cap N\right)\right) = \\
=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)+\left(R \cap N\right)-\left( R \cap P\right) \cap \left( R \cap N\right)\right)=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)+\left(R \cap N\right)-\left( R \cap P \cap N\right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =24-\left( 12+5-2\right)=24-15=9}\)
\(\displaystyle{ \mbox{c})\\
P \cap N=3}\)
\(\displaystyle{ \mbox{W podpunkcie c chodziło chyba o coś innego.}}\)
A=26;\quad F=23;\quad R=24;\quad \Omega=36\\
A \cup F \cup R= \Omega}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Minimalna liczba uczniów znających dwa języki:}\\
\Omega=A \cup F = A+F-A \cap F\\
A \cap F = A+F-\Omega\\
A \cap F =26+23-36=13}\)
\(\displaystyle{ \Omega=A \cup R = A+R-A \cap R\\
A \cap R = A+R-\Omega\\
A \cap R =26+24-36=14}\)
\(\displaystyle{ \Omega=F \cup R = F+R-F \cap R\\
F \cap R = F+R-\Omega\\
F \cap R =23+24-36=11}\)
\(\displaystyle{ \mbox{Minimalna liczba uczniów znających trzy języki:}\\
\Omega=A \cup F \cup R = A+F+R-A \cap F-A \cap R-F \cap R+A \cap F \cap R\\
A \cap F \cap R=\Omega-A-F-R+A \cap F+A \cap R+F \cap R\\
A \cap F \cap R=36-26-23-24+13+14+11=1}\)-- 31 paź 2011, o 22:10 --\(\displaystyle{ 2.\\
R=24;\quad P=16;\quad N=10;\quad \Omega=34\\
R \cap P=12;\quad R \cap N=5;\quad P \cap N=3\\
R \cap P \cap N=2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{a})\\
\left( R \cup P \cup N\right)' - \mbox{ osoby nie uprawiające żadnego sportu}\\
\left( R \cup P \cup N\right)'=\Omega-R \cup P \cup N\\
R \cup P \cup N=R+P+N-R \cap P-R \cap N-P \cap N+R \cap P \cap N=\\
=24+16+10-12-5-3+2=32\\
\left( R \cup P \cup N\right)'=34-32=2}\)
\(\displaystyle{ \mbox{b})\\
R \setminus P \setminus N - \mbox{ osoby umiejące tylko jeździć na rowerze}\\
R \setminus P \setminus N = R \setminus\left(P \cup N\right) = R \setminus \left( R \cap \left(P \cup N\right)\right)=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)\cup\left(R \cap N\right)\right) = \\
=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)+\left(R \cap N\right)-\left( R \cap P\right) \cap \left( R \cap N\right)\right)=R \setminus \left( \left( R \cap P\right)+\left(R \cap N\right)-\left( R \cap P \cap N\right)\right)=}\)
\(\displaystyle{ =24-\left( 12+5-2\right)=24-15=9}\)
\(\displaystyle{ \mbox{c})\\
P \cap N=3}\)
\(\displaystyle{ \mbox{W podpunkcie c chodziło chyba o coś innego.}}\)