Proszę o pomoc w zadaniu...
\(\displaystyle{ x_{1}=a}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=b}\)
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{x_{n-1} + x_{n-2}}{2}}\)
Znaleźć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x_{n}}\)
Z góry baaaardzo dziękuję
ciąg rekurencyjny
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
ciąg rekurencyjny
Indukcyjnie można dowieść, że ogólny wyraz ciągu ma postać:
\(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2^{n-2}} \left( \frac{2^{n-2}+(-1)^{n-1}}{3} a + \frac{2^{n-1}+(-1)^n}{3} b \right)}\)
więc granica \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b}\).
\(\displaystyle{ x_n=\frac{1}{2^{n-2}} \left( \frac{2^{n-2}+(-1)^{n-1}}{3} a + \frac{2^{n-1}+(-1)^n}{3} b \right)}\)
więc granica \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \frac{1}{3}a + \frac{2}{3}b}\).