Znaleźć logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego o długości d, jeśli po czasie\(\displaystyle{ \tau}\) jego energia zmniejszyła się n razy.
Nie rozumiem po co mi ten dekrement tłumienia i jak go używać. Przeczytałem na wikipedii iż jest to iloraz dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym. Będę niezwykle wdzięczny za wytłumaczenie idei.
Prawdziwy jest związek: \(\displaystyle{ E_k=n E_o}\)
Dla ruchu harmonicznego prawdziwa jest zależność: \(\displaystyle{ \Lambda = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}T_t}\) \(\displaystyle{ T_t}\) - okres drgań tłumionych
1. Skąd mam pewność, że ruch jest harmoniczny?
2. Energię początkową policzę, jeśli znajdę maksymalną amplitudę, tą na początku, dla czestości własnej.
Znam jeszcze zależność: \(\displaystyle{ \Lambda = \ln{\frac{A_n}{A_{n+1}}}}\)
Niestety, to co napisałeś nie prowadzi mnie w żaden sposób w kierunku rozwiązania - ale przynajmniej wiem po co się tego używa.
1. Przy okazji, czym jest właściwie ten ośrodek tłumienia w odniesieniu do równania ruchu tłumionego?
Czy jest to \(\displaystyle{ \beta = \Gamma}\) z równania: \(\displaystyle{ \frac{d^2 x(t)}{dt^2}+\Gamma\frac{d x(t)}{dt} + \omega_0^2 x = 0}\)
A może? \(\displaystyle{ \beta = \frac{\Gamma}{2}}\)
2. Wracając do zadania, którego po prostu nie ogarniam.
Poszukuje logarytmicznego dekrementu tłumienia znając czas trwania ruchu \(\displaystyle{ \tau}\) oraz wiedząc, że: \(\displaystyle{ E_k = n E_o}\) oraz znając długość wahadła d.
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta T}\)
Znalazłem następujący wzór na ampltudę po czasie t: \(\displaystyle{ A(t) = A_0 e^{-\beta t}}\) \(\displaystyle{ A(0)=A_0}\) \(\displaystyle{ A(k)=A_0 e^{-\beta \tau}}\)
Wzór na energię: \(\displaystyle{ E=\frac{kA^2}{2}}\)
Po podstawieniu: \(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta \tau} = n \frac{k}{2} A_0^2}\) \(\displaystyle{ \beta = \frac{\ln{n}}{-2 \tau}}\) 3. Czy współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta}\) może być ujemny?
Wracam do głównego równania: \(\displaystyle{ \Lambda = 2 \pi \frac{\beta}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}}\) \(\displaystyle{ \omega_0 = \frac{d}{g}}\)
4. Czy dobrze policzone \(\displaystyle{ \beta}\) oraz co zrobić z \(\displaystyle{ \Gamma}\)?
Mam już wszystko rozpykane, teraz to co zajęło mi na kartce 3 minuty, muszę w LateX-ie wstukać pewnie z 20 minut, ale już nie dziś. Mam nadzieję, że to nic pilnego i możesz poczekać 1 - 2 dni.
Uwaga: czas au to w dganiach czas, po którym amplituda maleje e razy, więc nie możemy go tak sobie używać tego symbolu dowolnie - ja ten czas oznaczyłem sobie \(\displaystyle{ t _{1}}\).
-- 31 paź 2011, o 11:46 --
1. Ośrodkiem tłumienia jest ośrodek, w ktorym układ wykonuje drgania (powietrze, woda, olej, itp.).
Tylko \(\displaystyle{ \Gamma = 2 \beta}\).
2. Równanie
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-2 \Beta t _{1}} = n \frac{k}{2} A_0^2}\)
jest złe, bo "n" powinno być po przeciwnej stronie, albo zamiast "n" musi być "1/n":
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}A_0^2 e^{-\beta \left( t + t _{1}\right) } = \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{2} A_0^2 \cdot e ^{- \beta t}}\)
\(\displaystyle{ A_0^2 e^{-2\beta t} \cdot e^{-2\beta t _{1}} = \frac{1}{n} A_0^2 \cdot e ^{- 2\beta t}}\)
\(\displaystyle{ A_0 e^{-\beta t} \cdot e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}} A_0 \cdot e ^{- \beta t}}\)
\(\displaystyle{ e^{-\beta t _{1}} = \frac{1}{ \sqrt{n}}}\)
\(\displaystyle{ -\beta t _{1} = \ln \frac{1}{ \sqrt{n}}}\)
Dzięki, za zwrócenie uwagi i znalezienie błędu. W sumie bardzo drobny był.
Moim zdaniem zrobiłeś błąd w etapie 4 wstawiając za T okres drgań własnych, a nie okres drgań tłumionych. Mi wyszło z odpowiedziami, gdy wstawiłem okres drgań tłumionych. Według wikipedii powinien być okreś drgań tłumionych, którego częstość: \(\displaystyle{ \omega=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \frac{\Gamma^2}{4}}}}\)
Ale i tak bardzo dziękuję, ponieważ to już mi się po mału rozjaśnia - podpowiedź w 1 poście, że można to użyć do wyznaczenia oporu ośrodka naprawdę bardzo wartościowa.
