równanie funkcyjne

witch · Post autor: **witch** » 27 paź 2011, o 21:13

Czy funkcja spełniająca równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f\bigl(f(x)\bigr)=x}\) musi być różnowartościowa?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 paź 2011, o 21:14

Tak, bo oznacza to, że jest do siebie odwrotna: \(\displaystyle{ f^{-1}=f}\).

witch · Post autor: **witch** » 27 paź 2011, o 21:20

Czy takie stwierdzenie wystarczyłoby na dowód?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 paź 2011, o 21:23

Zważywszy na definicję funkcji odwrotnej i jej własności - tak. Ale musisz tę definicję podać (złożenia w obie strony są odpowiednimi identycznościami). A funkcja mająca odwrotną oczywiście jest różnowartościowa. Gdybyś u mnie zdawała z tego egzamin, pomęczyłbym Cię trochę sprawdzając czy znasz pojęcia. To co napisałem tutaj, wystarczyłoby mi. Oczywiście z podaniem definicji.

witch · Post autor: **witch** » 27 paź 2011, o 22:08

No więc spróbuję ponownie =] czy można przeprowadzić rozumowanie w ten sposób:
\(\displaystyle{ f(f(x))=f(-x)}\) podstawiając \(\displaystyle{ x=-x}\) \(\displaystyle{ f(f(-x))=f(x)}\) a więc \(\displaystyle{ f(f(f(x)))=f(x)}\) podstawiając \(\displaystyle{ f(x)=d}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(f(d))=d}\) ?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 paź 2011, o 22:34

Zupełnie nie. Funkcje \(\displaystyle{ f:A\to B}\) i \(\displaystyle{ g:B\to A}\) są wzajemnie odwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f\circ g:B\to B}\) jest identycznością na zbiorze \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ g\circ f:A\to A}\) jest identycznością na zbiorze \(\displaystyle{ A}\). To jest definicja, lub, jak kto woli, warunek równoważny wzajemnej odwrotności funkcji \(\displaystyle{ f,g}\). Stąd wynika różnowartościowość obu i nie trzeba już jej dowodzić, bo funkcje posiadające odwrotne są w szczególności różnowartościowe. Dobranoc.