VII edycja OMG

[Vax]

No to 4, oznaczmy nasze liczby jako \(\displaystyle{ a_1,a_2,..,a_{99}}\). Łatwo zauważyć, że dowolna liczba naturalna przystaje do sumy swoich cyfr modulo 3, więc dla \(\displaystyle{ i\in \lbrace 1;2;...;99\rbrace}\) mamy \(\displaystyle{ a_i \equiv 10\cdot 1+20\cdot 2 \equiv -1\pmod{3}}\), jak podzielimy nasze liczby na dwie grupy to w jednej będzie parzysta ilość liczb (niech to będzie \(\displaystyle{ 2n}\)) a w drugiej nieparzysta (\(\displaystyle{ 2k+1}\)), jeżeli iloczyn liczb w obu grupach byłby równy, to tym bardziej przystawałby do siebie modulo 3, czyli musiałoby być \(\displaystyle{ (-1)^{2n} \equiv (-1)^{2k+1} \pmod{3} \Leftrightarrow 2\equiv 0\pmod{3}}\) sprzeczność.

[askenazy]

Niestety albo czegoś nie rozumiem, albo znalazłem kontrprzykład do Twojego rozwiązania zadania 5

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/JTK/

|BD|=|BX|+|XY|+|XD|
Z mojego rysunku widać, że |BX| jest dłuższa od promienia okręgu opisanego na ABC
Długość |XY| jest dłuższa od połowy |AE|

[deges]

Czy wie ktoś może kiedy będą wyniki kto przeszedł dalej?

[badmor]

Czy wie ktoś może kiedy będą wyniki kto przeszedł dalej?

Zwykle do połowy grudnia były na stronie informacje kto przeszedł dalej. Innych wyników chyba nie podawali?

[askenazy]

Proszę o wyjaśnienie wątpliwości, bo nie mogę tego doczytać w regulaminie.
Czy do 2 etapu OMG są zakwalifikowane WSZYSTKIE osoby, które otrzymały wystarczająco dużą ilość punktów, czy jest ustalana lista rankingowa i przechodzi tylko N pierwszych osób z najlepszymi rezultatami ?

[Panda]

@askenazy:
Nie jestem z gimnazjum, ale cały dzień minął i nikt nie napisał


Niech \(\displaystyle{ ABCDE}\) to taki pięciokąt,\(\displaystyle{ B,D}\) proste, \(\displaystyle{ F}\)to środek \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ G}\)to środek \(\displaystyle{ CE}\). Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny, \(\displaystyle{ AC}\) przeciwprostokątna a \(\displaystyle{ F}\) jej środek, zatem \(\displaystyle{ AF=BF=CF = 1/2 AC}\), bo to środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\). Podobnie \(\displaystyle{ CG=DG=EG= 1/2 CE}\).\(\displaystyle{ 1/2 AE = FG}\), z jednokładności na przykład. Połączyliśmy tym samym punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) łamaną o długości równej połowie obwodu trójkąta \(\displaystyle{ ACE}\) (ta łamana to \(\displaystyle{ BFGD}\)), zatem odległość, czyli odcinek \(\displaystyle{ BD}\) jest mniejszy lub równy.


Przechodzą wszystkie osoby od 70% oraz zwykle mnóstwo osób z poniżej 70%, zależnie od progu, który jest ustalany dynamicznie. Robiąc na 70% masz pewność, robiąc poniżej teoretycznie nigdy nie masz.

[Vax]

1362 osoby w 2 etapie, 284 z samego Mazowieckiego..

[gleb]

Zastanawiam się, kiedy organizatorzy OMG zrezygnują wreszcie z etapu korespondencyjnego. Możliwości nieuczciwości na tym etapie jest tyle, że to jest w zasadzie bez sensu. Mnie samemu starczyło na styk punktów do awansu, rozwiązywałem wszystko sam, ale wiem, że są osoby, które nawet jeśli nie szukają pomocy na forach (co jest łatwo wykrywalne), to znajdują ją np. w domu (rodzice, starsze rodzeństwo itp). Można się zastanowić, po co, skoro i tak się potem nie rozwiąże żadnego zadania, ale znam przypadki szkół, w których za sam awans do II etapu dostaje się np. szóstkę czy piątkę i choćby dlatego "warto" oszukać. W ogóle nie powinno być takich niekontrolowanych etapów, co najwyżej jako zadania przygotowawcze. Bo jakim cudem np. osoby, które miały po 3-4 punkty w teście (czyli w warunkach kontrolowanych) nagle rozwiązują po 5 zadań w części korespondencyjnej i awansują dalej. Dla mnie to śmieszne.

[Panda]

Teraz to odsiewa dość sporą rzeszę tych, którzy bez tego etapu by poszli na olimpiadę tylko po to, by nie być na lekcjach. Ew. "a co mi tam, spróbuję". Masz rację, możliwości są ogromne - w praktyce jednak oszustw nie ma tak dużo, że etap korespondencyjny nie odsiewa znacznej rzeszy tych, którzy na 2 i tak sobie nie poradzą - choć to ostatnie to moje przypuszczenie. A piątki za 2 etap to wina szkół, nie organizatorów.

Z OMem niby jest podobnie, nawet profity są większe (np. u mnie za 2 etap zwolnienie z odpowiedzi i 2 tygodnie urlopu). Przechodzi wiele osób które sobie same nie radzą z zadaniami i potem łatwo odpadają na 2, ale wiele widząc zadania nie chce się w to ładować, żeby nie robić z siebie pośmiewiska itd. To oczywiście niedoskonały system, ale chodzi chyba o to, żeby znacznie zredukował ilość osób, które wezmą udział w 2 etapie, a i tak sobie z nim nie poradzą.

[deges]

Ile mniej więcej trzeba mieć procent punktów w 2 etapie, żeby przejść do finału? Bo przyznam, że zadania są coś trudne i więcej niż 50% może być mi ciężko wyrobić.

[ElEski]

deges,
Około 12/30 punktów potrzeba, więc się nie przejmuj.
Poza tym masz jak w banku, że będzie zadanie na wzory skróconego mnożenia, więc możesz się w tym poduczyć i od razu zadanie do przodu

[Sylwek]

Zastanawiam się, kiedy organizatorzy OMG zrezygnują wreszcie z etapu korespondencyjnego. Możliwości nieuczciwości na tym etapie jest tyle, że to jest w zasadzie bez sensu. Mnie samemu starczyło na styk punktów do awansu, rozwiązywałem wszystko sam, ale wiem, że są osoby, które nawet jeśli nie szukają pomocy na forach (co jest łatwo wykrywalne), to znajdują ją np. w domu (rodzice, starsze rodzeństwo itp). Można się zastanowić, po co, skoro i tak się potem nie rozwiąże żadnego zadania, ale znam przypadki szkół, w których za sam awans do II etapu dostaje się np. szóstkę czy piątkę i choćby dlatego "warto" oszukać. W ogóle nie powinno być takich niekontrolowanych etapów, co najwyżej jako zadania przygotowawcze. Bo jakim cudem np. osoby, które miały po 3-4 punkty w teście (czyli w warunkach kontrolowanych) nagle rozwiązują po 5 zadań w części korespondencyjnej i awansują dalej. Dla mnie to śmieszne.

Nigdy (prawdopodobnie). W podobny sposób odbywają się najróżniejsze olimpiady przedmiotowe oraz konkursy na świecie. Dla osób mających ambicje na finał OMG dostanie się do II etapu nie powinno być najmniejszym problemem. A wewnętrzne regulacje szkół są ich własną sprawą. Odsetek oszukujących jest na tyle mały, że sprawa nie stanowi problemu.

[deges]

Jak oceniacie zadania z 2 etapu? I kiedy mniej więcej będą wyniki?

[SaxoN]

Mógłby ktoś wrzucić zadania z drugiego etapu? Chętnie dowiem się co mój brat odwalił

[Kiziula]

Zadania były dość ciekawe. Mogę je przepisać, jeśli komuś bardzo zależy.
Szkiców rozwiązań nie mam, bo u nas (Toruń) stwierdzili, że rozdadzą je po omówieniu (na omówieniu zostało mało osób, chyba to miała być 'zachęta' żeby zostać).

Dobra, skoro mam czas, to już przepiszę chociaż kawałek:

1. Wyznacz wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b}\), których iloczyn ab jest podzielny przez \(\displaystyle{ 175}\), a suma \(\displaystyle{ a+b}\) równa się \(\displaystyle{ 175}\).

2. W pewnym turnieju uczestniczyło 6 drużyn. Każda drużyna rozegrała z każdą inną dokładnie jeden mecz. Za zwycięstwo w meczu drużyna otrzymywała 3 punkty, za porażkę 0 punktów, a za remis 1 punkt. Po turnieju okazało się, że suma punktów zdobytych przez wszystkie drużyny wynosi 41. Wykaż, że istnieją takie cztery drużyny, z których każda co najmniej jeden raz zremisowała.

3. Czy istnieje taki trójkąt o bokach długości \(\displaystyle{ a, b, c}\), którego pole jest równe \(\displaystyle{ \frac14(ab+bc)}\)? Odpowiedź uzasadnij.

4. Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) liczb nieujemnych i nie większych od \(\displaystyle{ 1}\), dla których spełniona jest równość
\(\displaystyle{ a+b+c=ab+bc+ca}\).

5. Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym
\(\displaystyle{ |\angle DAB| + |\angle BCD| =|\angle ABC|}\).
Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Wykaż, że punkt \(\displaystyle{ O}\) jest jednakowo odległy od prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\).

Moje odpowiedzi (rozwiązań mi się nie chce pisać, chociaż nie były jakieś masakrycznie długie):
1. \(\displaystyle{ (a, b)=\{(35, 140), (70, 105), (105, 70), (140, 35)\}}\)
2. Wychodziły 4 remisy. Możliwe przypadki rozdzieliłam na 4 lub 5 i dla każdego na grafie + krótki opis pokazałam.
3. Nie.
4. \(\displaystyle{ (a, b, c)=\{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}}\)
5. Nieco pokrętnie udowodniłam (coś chyba zjadłam w dowodzie lub mi się tak zdaje), że \(\displaystyle{ D=O}\). Wtedy \(\displaystyle{ O}\) jest jednakowo odległe od prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\), bo do nich należy.
Część osób nie rozwiązała piątego, to wiem. Lub coś przekombinowała. Jedna osoba z mojej szkoły ma coś podobnego do mnie w piątym, więc jest chyba dobrze.