Indukcja nierowność

[kiler7]

Udowodnij korzystając z np indukcji

\(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\)

Sprawdzilem najpierw dla czterech, potem teza:

\(\displaystyle{ 3^(n+1)>(n+1)^3}\)

Rozpisałem do :

\(\displaystyle{ 3^n*3>n^3+3n^2+3n+1}\)

Prosze o pomoc nie wiem co dalej robic

[adambak]

pomnóż nierówność z zadania przez \(\displaystyle{ 3}\).. potem wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) dla takich \(\displaystyle{ n}\) z zadania..

[szw1710]

Można też inaczej: logarytmując mamy równoważnie

\(\displaystyle{ n\ln 3>3\ln n}\), więc

\(\displaystyle{ \frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln n}{n}}\).

Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln{x}}{x}}\), stąd \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0\iff \ln x>1\iff x>\text{e}}\) , więc w liczbach naturalnych mamy \(\displaystyle{ x\ge 3.}\)

Oznacza to, że \(\displaystyle{ f}\) maleje w \(\displaystyle{ [3,infty)}\), skąd \(\displaystyle{ f(3)>f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\), co daje Twoją nierówność.

[kiler7]

pomnóż nierówność z zadania przez \(\displaystyle{ 3}\).. potem wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) dla takich \(\displaystyle{ n}\) z zadania..

Jak byś mógł bardziej mi to rozpisać choć 2,3 linijki co do rozw szw1710 nie moj poziom jeszcze ;]

Szkoda ze nie da sie dowodu indukcja przejść a tą ja mieliśmy na zajęciach,

[szw1710]

Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę

Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?

[kiler7]

Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę

Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?

Dzięki za pomoc, liczę na młodzież.

Według programu nie, chodz sam trochę poznałem

[Marcinek665]

Dowodzenie nierówności całkowitoliczbowych za pomocą pochodnej nie jest fajne.

EDIT. Przepraszam, że wyraziłem własne zdanie na temat rozwiązania zadania za pomocą brzydkiej metody.

[kamil13151]

Zakładamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\) jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3}\) jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>(n+1)^3}\). Wystarczy udowodnić, że: \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3}\), pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\), nierówności umiesz chyba już rozwiązać?

[adambak]

kiler7, nie chciałbym Cię rozczarować, ale też użyłem do tego pochodnych.. ale fajnie się liczyło..

\(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\)

\(\displaystyle{ 2n^3-3n^2-3n-1>0}\)

\(\displaystyle{ f(n)=2n^3-3n^2-3n-1>0, \ f(4)>0}\)

no to badamy tą funkcję, czy spełnia warunki że dla czwórki wzwyż będzie tylko dodatnia..

\(\displaystyle{ f'(n)=6n^2-6n-3}\)

teraz tylko liczymy deltę i widzimy że nie dość że \(\displaystyle{ f(4)>0}\) to w dodatku pochodna jest dodatnia na przedziale \(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt3}{2};+\infty)}\), a więc funkcja już tylko rośnie co nam wystarcza..

[kiler7]

Zakładamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\) jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3}\) jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>(n+1)^3}\). Wystarczy udowodnić, że: \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3}\), pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\), nierówności umiesz chyba już rozwiązać?

Tak defakto to w 1 poscie moim doszedłem do \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) i cos tam starałem się rozpisać ale mi nie wychodziło

[kamil13151]

\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .

[kiler7]

\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .

Tak ,ale dowód nadal nie indukcyjny tresc moze nie wymaga ale czlowiek dla sportu by chicał to indukcyjnie pokazac

[kamil13151]

To dowód indukcyjny, nierówność \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) uzasadniłem dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\), ale wcześniej powołałem się na indukcję.

[adambak]

\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .

ja bym się bał mówić czy wystarcza.. funkcja mogłaby jeszcze zakręcić (choć wiem, że wiesz, że nie zakręca )
olaliście chyba mój post, w którym jest dosyć ściśle napisane co nam wystarczy do dowodu

kiler7, to jest indukcja, tylko taka piękna w połączeniu z analizą.. ja się cieszę jak widzę zadanie w którym muszę użyć kilku narzędzi..

[kamil13151]

adambak, no właśnie też się boję, dlatego na koniec wypowiedzi dałem znak zapytania czy wystarcza .