Indukcja nierowność
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Indukcja nierowność
Udowodnij korzystając z np indukcji
\(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\)
Sprawdzilem najpierw dla czterech, potem teza:
\(\displaystyle{ 3^(n+1)>(n+1)^3}\)
Rozpisałem do :
\(\displaystyle{ 3^n*3>n^3+3n^2+3n+1}\)
Prosze o pomoc nie wiem co dalej robic
\(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\)
Sprawdzilem najpierw dla czterech, potem teza:
\(\displaystyle{ 3^(n+1)>(n+1)^3}\)
Rozpisałem do :
\(\displaystyle{ 3^n*3>n^3+3n^2+3n+1}\)
Prosze o pomoc nie wiem co dalej robic
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Indukcja nierowność
pomnóż nierówność z zadania przez \(\displaystyle{ 3}\).. potem wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) dla takich \(\displaystyle{ n}\) z zadania..
Indukcja nierowność
Można też inaczej: logarytmując mamy równoważnie
\(\displaystyle{ n\ln 3>3\ln n}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln n}{n}}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln{x}}{x}}\), stąd \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0\iff \ln x>1\iff x>\text{e}}\) , więc w liczbach naturalnych mamy \(\displaystyle{ x\ge 3.}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ f}\) maleje w \(\displaystyle{ [3,infty)}\), skąd \(\displaystyle{ f(3)>f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\), co daje Twoją nierówność.
\(\displaystyle{ n\ln 3>3\ln n}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln n}{n}}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln{x}}{x}}\), stąd \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0\iff \ln x>1\iff x>\text{e}}\) , więc w liczbach naturalnych mamy \(\displaystyle{ x\ge 3.}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ f}\) maleje w \(\displaystyle{ [3,infty)}\), skąd \(\displaystyle{ f(3)>f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 4}\), co daje Twoją nierówność.
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Indukcja nierowność
adambak pisze:pomnóż nierówność z zadania przez \(\displaystyle{ 3}\).. potem wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) dla takich \(\displaystyle{ n}\) z zadania..
Jak byś mógł bardziej mi to rozpisać choć 2,3 linijki co do rozw szw1710 nie moj poziom jeszcze ;]
Szkoda ze nie da sie dowodu indukcja przejść a tą ja mieliśmy na zajęciach,
Indukcja nierowność
Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę
Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?
Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Indukcja nierowność
Dzięki za pomoc, liczę na młodzież.szw1710 pisze:Jak najbardziej to zadanie na dowód indukcyjny. Ale ja nie znoszę indukcji tam, gdzie jej nie trzeba. Więc niech się pomęczą młodsi Koledzy, jeśli oczywiście mają na to ochotę
Pochodnych jeszcze nie miałeś (i badania monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych)?
Według programu nie, chodz sam trochę poznałem
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Indukcja nierowność
Dowodzenie nierówności całkowitoliczbowych za pomocą pochodnej nie jest fajne.
EDIT. Przepraszam, że wyraziłem własne zdanie na temat rozwiązania zadania za pomocą brzydkiej metody.
EDIT. Przepraszam, że wyraziłem własne zdanie na temat rozwiązania zadania za pomocą brzydkiej metody.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2011, o 22:10 przez Marcinek665, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Indukcja nierowność
Zakładamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\) jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3}\) jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>(n+1)^3}\). Wystarczy udowodnić, że: \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3}\), pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\), nierówności umiesz chyba już rozwiązać?
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Indukcja nierowność
kiler7, nie chciałbym Cię rozczarować, ale też użyłem do tego pochodnych.. ale fajnie się liczyło..
\(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\)
\(\displaystyle{ 2n^3-3n^2-3n-1>0}\)
\(\displaystyle{ f(n)=2n^3-3n^2-3n-1>0, \ f(4)>0}\)
no to badamy tą funkcję, czy spełnia warunki że dla czwórki wzwyż będzie tylko dodatnia..
\(\displaystyle{ f'(n)=6n^2-6n-3}\)
teraz tylko liczymy deltę i widzimy że nie dość że \(\displaystyle{ f(4)>0}\) to w dodatku pochodna jest dodatnia na przedziale \(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt3}{2};+\infty)}\), a więc funkcja już tylko rośnie co nam wystarcza..
\(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\)
\(\displaystyle{ 2n^3-3n^2-3n-1>0}\)
\(\displaystyle{ f(n)=2n^3-3n^2-3n-1>0, \ f(4)>0}\)
no to badamy tą funkcję, czy spełnia warunki że dla czwórki wzwyż będzie tylko dodatnia..
\(\displaystyle{ f'(n)=6n^2-6n-3}\)
teraz tylko liczymy deltę i widzimy że nie dość że \(\displaystyle{ f(4)>0}\) to w dodatku pochodna jest dodatnia na przedziale \(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt3}{2};+\infty)}\), a więc funkcja już tylko rośnie co nam wystarcza..
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Indukcja nierowność
kamil13151 pisze:Zakładamy, że nierówność \(\displaystyle{ 3^n>n^3 ,n \ge 4}\) jest prawdziwa, również przy okazji zauważamy, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3}\) jest prawdziwa. Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ 3^{n+1}>(n+1)^3}\). Wystarczy udowodnić, że: \(\displaystyle{ 3^{n+1}>3n^3>(n+1)^3}\), pierwsza nierówność jest prawdziwa z założenia, także zostaje nam rozwiązać. \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\), nierówności umiesz chyba już rozwiązać?
Tak defakto to w 1 poscie moim doszedłem do \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) i cos tam starałem się rozpisać ale mi nie wychodziło
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Indukcja nierowność
\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .
-
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 5 maja 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Indukcja nierowność
kamil13151 pisze:\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .
Tak ,ale dowód nadal nie indukcyjny tresc moze nie wymaga ale czlowiek dla sportu by chicał to indukcyjnie pokazac
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Indukcja nierowność
To dowód indukcyjny, nierówność \(\displaystyle{ 3n^3>(n+1)^3}\) uzasadniłem dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\), ale wcześniej powołałem się na indukcję.
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Indukcja nierowność
ja bym się bał mówić czy wystarcza.. funkcja mogłaby jeszcze zakręcić (choć wiem, że wiesz, że nie zakręca )kamil13151 pisze:\(\displaystyle{ f(4)>0}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 2n^3-3n^2-3n-1= \infty}\) To chyba wystarcza? .
olaliście chyba mój post, w którym jest dosyć ściśle napisane co nam wystarczy do dowodu
kiler7, to jest indukcja, tylko taka piękna w połączeniu z analizą.. ja się cieszę jak widzę zadanie w którym muszę użyć kilku narzędzi..
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Indukcja nierowność
adambak, no właśnie też się boję, dlatego na koniec wypowiedzi dałem znak zapytania czy wystarcza .