Całka krzywoliniowa

[Loki123]

Witam czy mógł by ktoś pomóc z zadaniem

\(\displaystyle{ \int_{k} yz\,\text ds}\), gdzie \(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=\cos t\\ y=\sin t\\z=4 \end{cases}; 0 \le t \le \pi}\)

Nie bardzo wiem jak się do niego zabrać więc jeśli by ktoś mógł nakierować lub rozwiązać to był bym bardzo wdzięczny.
Pozdrawiam

[Chromosom]

zamień tę całkę krzywoliniową na oznaczoną

[Loki123]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } yz\,\text ds}\)
Coś takiego?
I czy dobrze myślę aby to zapisać tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } 4 \sin t \sqrt{( \cos t )^2}\,\text dt}\)?
Jak by to było dalej jeśli to jest dobrze?

[Chromosom]

Pierwsza całka jest wyznaczona poprawnie. Zamiana funkcji podcałkowej jest wykonana błędnie. Przedstaw dokładniejsze obliczenia.

[Loki123]

Wg wzoru zapisałem funkcję razy pierwiastek z pochodnych do kwadratu, a że jest tylko "y" i "z" to wyszło tak jak napisałem:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi } 4 \sin t \sqrt{( \cos t )^2}\,\text dt}\)
Jeśli nie tak to proszę bardzo o wzór ogólny na obliczenie czegoś takiego lub rozwiązanie tego z komentarzem.
Dzięki

[joe74]

\(\displaystyle{ \int\limits_{\Gamma}^{} f\left( x,y,z\right) \cdot dl = \int\limits_{t = \alpha}^{t = \beta} f\left[ x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right] \cdot \sqrt{\left[ x'\left( t\right)\right] ^{2} + \left[ y'\left( t\right)\right] ^{2} + \left[ z'\left( t\right)\right] ^{2}}dt}\)

W naszym przypadku

\(\displaystyle{ \int\limits_{\Gamma}^{} f\left( x,y,z\right) \cdot dl = \int\limits_{t = 0}^{t = \pi } \sin t \cdot 4 \cdot \sqrt{\left( -\sin t\right)^{2} + \cos ^{2} t + 0^{2}} \cdot dt = 4 \cdot \int\limits_{0}^{\pi} \sin t \cdot dt}\)