Oblicz objętość bryły

[Loki123]

Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej wykresem funkcji \(\displaystyle{ f\left(x\right)=x \sqrt{\arctan x}}\) dookoła osi OX dla \(\displaystyle{ x \in \left[0,1\right]}\)

Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ V= \pi \int_{0}^{1} \left(x \sqrt{\arctan x}\right)^2\,\text{d}x= \pi \int_{0}^{1} x^2\arctan x \,\text{d}x=\left|f=\arctan x,\ \
f^\prime = \frac{1}{x^2+1},\ \ g^\prime =x^2,\ \ g= \frac{x^3}{3}\right|= \pi \arctan x\cdot \frac{x^3}{3}\Big|^0_{-1}-\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1}\cdot \frac{x^3}{3}\,\text dx}\)

Przepraszam że kod jest taki jaki jest ale nie bardzo umiałem inaczej to zapisać, proszę o pomoc w dalszym rozwiązaniu tego zadania i ewentualnym poprawieniu jeśli gdzieś się pomyliłem dochodząc do miejsca w którym jestem.
Pozdrawiam

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{x^2+1}\,\text dx=\int\frac{x^2}{x^2+1}\cdot x\,\text dx}\)

możesz zastosować podstawienie \(\displaystyle{ x^2+1=t}\)

[Loki123]

Stosując to podstawienie do tego otrzymam:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{x^2}{x^2+1}\cdot x\,\text dx =\left|\begin{array}{ccc}x^2+1=t;\\2xdx=dt\\xdx= \frac{1}{2} dt\end{array}\right|
= \int_{0}^{1} \frac{x^2}{t} dt}\)
Czy zapomniałem coś z tym mianownikiem zrobić? bo tak troszkę przeszkadza.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{x^2+1}\,\text dx=\int\frac{x^2}{x^2+1}\cdot x\,\text dx}\)

\(\displaystyle{ x^2=t-1}\)

albo

\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{x^2+1} \mbox{d}x= \int{ \frac{x^3+x}{x^2+1} \mbox{d}x }-\int{ \frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x } \\
=\int{x \mbox{d}x }-\int{ \frac{x}{x^2+1} \mbox{d}x }\\
= \frac{x^2}{2}- \frac{1}{2}\ln{\left| x^2+1\right| }+C}\)