[Teoria liczb] Trudna teoria liczb

[jerzozwierz]

Udowodnij, że istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\),
\(\displaystyle{ k \cdot 2^n+1}\) jest złożona.

[fon_nojman]

Istnieje np \(\displaystyle{ k=78 557.}\) Wtedy \(\displaystyle{ k\cdot 2^n+1=3^{n_1}\cdot 5^{n_2}\cdot 7^{n_3}\cdot 13^{n_4}\cdot 19^{n_5}\cdot 37^{n_6}\cdot 73^{n_7}.}\)

[Swistak]

\(\displaystyle{ F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417}\) i tyle w temacie ;p.

fon_nojman: Liczby postaci \(\displaystyle{ 785572^n+1}\) nie mają absolutnie żadnych innych dzielników pierwszych poza tymi o_0?

[fon_nojman]

Nie mają, szukane \(\displaystyle{ k}\) to tzw liczby Sierpińskiego. Swistak po co podałeś \(\displaystyle{ F_5}\)?

[Swistak]

Chcemy, aby \(\displaystyle{ k+1, 2k+1, 4k+1, ...}\) były złożone. Weźmy sobie liczbę pierwszą, taką, że rząd dwójki mod ta liczba wynosi 2. Konkretnie 3 ; p. Jak \(\displaystyle{ k \equiv_3 2}\), to \(\displaystyle{ k+1, 4k+1, 16k+1, ...}\) będą złożone. Dalej jak weźmiemy liczbę pierwszą dla której rząd dwójki to 4 (czyli 5), to potrafimy wywalić, \(\displaystyle{ 2k+1, 32k+1, 128k+1, ...}\). Robimy tak dalej, przy czym istnieją co najmniej 2 liczby pierwsze o rzędzie 64 (konkretnie dzielniki \(\displaystyle{ F_5}\)), zatem uda nam się wywalić wszystko. Oczywiście po drodze aplikujemy chińskie.

[TomciO]

Nie mają, szukane \(\displaystyle{ k}\) to tzw liczby Sierpińskiego.

Ale czemu myślisz, że nie mają?

[fon_nojman]

Nie umiem tego pokazać ale tu ... umber.html jest trochę o tym.

[Swistak]

Chyba jednak fail fon_nojman. Po pierwsze w tym artykule nie jest napisane, że te liczby nie mają innych dzielników pierwszych, a po drugie, co ważniejsze, wziąłem sobie randomowy wykładnik równy 10 i proszę: ... 7*1024%2B1

[fon_nojman]

Szkoda, tak ładnie to wyglądało. Raczej chodzi o to, że każda taka liczba ma dzielnik ze zbioru \(\displaystyle{ \{3,5,7,13,19,37,73\}.}\)