Działania na zbiorach.

[pchelaa]

4. Mamy dwa niepuste, ograniczone zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) zawierające się w zbiorze liczb rzeczywistych. Znamy ich kresy tzn: \(\displaystyle{ \sup A,\ \sup B,\ \inf A,\ \inf B}\).
Czy istnieje wzór wyrażający przy pomocy tych 4 liczb:
\(\displaystyle{ a) \sup (A \cup B)\\
b)\ \inf (A \cup B)\\
c)\ \sup(A \cap B)\\
d)\ \inf (A \cap B)}\)
Nie wiem, czy umieściłam to w dobrym dziale. Proszę o pomoc, bo nie wiem czy to dobrze rozumiem polecenie.

[Dasio11]

a) \(\displaystyle{ \sup \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) = \max \left\{ \sup \mathbb A, \sup \mathbb B \right \}}\)

b) \(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) = \min \left\{ \inf \mathbb A, \inf \mathbb B \right \}}\)

Zastanów się, dlaczego.

W c) i d) już nie jest tak łatwo. Przekrój \(\displaystyle{ \mathbb A \cap \mathbb B}\) może być pusty, a jeśli nie jest, to i tak trudno cokolwiek powiedzieć o jego supremum czy infimum. Obrazuje to przykład:

\(\displaystyle{ \mathbb{A} = \{ -1, 0, 1 \} \\
\mathbb{B} = \{ -2, 0, 2 \} \\
\mathbb{A} \cap \mathbb{B} = \{0 \}}\)

[mrotka]

Również jestem zainteresowana tym zadaniem i mam pytanie. W jaki sposób można udowodnić wzór z podpunktu b) ? Bo jest to w dalszej części polecenia, a jedyne co wiem, to, że należy udowodnić 2 nierówności, tzn. \(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right)\le\min \left\{ \inf \mathbb A, \inf \mathbb B \right \}}\) oraz \(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) \ge\ \min \left\{ \inf \mathbb A, \inf \mathbb B \right \}}\). Nie za bardzo wiem, jak to zrobić.

Na początku wzięłam dowolne \(\displaystyle{ a\in A}\) i \(\displaystyle{ b\in B}\) i wiadomo, że \(\displaystyle{ a\ge infA}\), a \(\displaystyle{ b\ge infB}\), ale nie wiem co dalej.

Poza tym, jak można udowodnić, że dla podpunktu D taki wzór nie istnieje? Nie mam pojęcia, jak to formalnie zapisać. Proszę o pomoc.

[adambak]

Wydaje mi się, że chodzi o to, że w podpunktach c) i d) ten wzór nie zależy tylko od kresów zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)(a w poleceniu jest, że tylko z nich można korzystać).. Jak pokazał Dasio11 w zależności od tych zbiorów ich przecięcie może być puste lub nie.. a więc wzór zależy też od tego wyniku, więc nie da się go przedstawić za pomocą tylko danych nam kresów.. ale mogę się mylić, fajnie jakby ktoś mądrzejszy skorygował..

co do a) i b) to również mam problemy z tego typu zadaniami i formalnym zapisem(bo wynik sam sę narzuca)..

[mrotka]

Wydaje mi się, że chodzi o to, że w podpunktach c) i d) ten wzór nie zależy tylko od kresów zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)(a w poleceniu jest, że tylko z nich można korzystać).. Jak pokazał Dasio11 w zależności od tych zbiorów ich przecięcie może być puste lub nie.. a więc wzór zależy też od tego wyniku, więc nie da się go przedstawić za pomocą tylko danych nam kresów.. ale mogę się mylić, fajnie jakby ktoś mądrzejszy skorygował..

No ja to rozumiem i wiem, że tak jest, tylko chodzi mi o jakiś formalny dowód, że taki wzór nie istnieje, bo w poleceniu jest zaznaczone, żeby wykazać, że nie istnieje. No chyba, że podanie przykładu wystarczy?

co do a) i b) to również mam problemy z tego typu zadaniami i formalnym zapisem(bo wynik sam sę narzuca)..

Niestety, zapowiada się, że przez pewien czas się od takich zadań nie uwolnimy...

[adambak]

Przykład nigdy nie wystarczy, bo jest konkretny.. wydaje mi się, że słowne uzasadnienie w tym przypadku przejdzie, ale poczekajmy może ktoś napisze jak to pięknie uzasadnić..

Niestety, zapowiada się, że przez pewien czas się od takich zadań nie uwolnimy...

Racja.. w tym temacie dużo jest zadań na udowodnienie czegoś, "nie mając nic"..

-- 20 paź 2011, o 19:57 --

ja bym pokazał, że taki wzór istnieje w (c) i (d) jednak jest też zależny od \(\displaystyle{ A \cap B}\) co nie spełnia warunków, więc.. nie istnieje taki wzór o jaki proszą.. tylko jak to zapisać..

[Dasio11]

2 nierówności mogą być.

Skoro zbiór \(\displaystyle{ \mathbb A \cup \mathbb B}\) ma te same elementy co \(\displaystyle{ \mathbb A}\) i być może jeszcze trochę spoza \(\displaystyle{ \mathbb A,}\) to infimum zbioru \(\displaystyle{ \mathbb A \cup \mathbb B}\) musi ograniczać nie mniej elementów niż infimum \(\displaystyle{ \mathbb A,}\) czyli jest

\(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) \le \inf \mathbb{A}}\)

Podobnie,

\(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) \le \inf \mathbb{B}}\)

a skoro liczba \(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right)}\) jest słabo mniejsza od obu liczb \(\displaystyle{ \inf \mathbb{A}, \inf \mathbb{B},}\) to jest też słabo mniejsza od mniejszej z nich, czyli od ich minimum.

W drugą stronę, mniejsza z liczb \(\displaystyle{ \inf \mathbb{A}, \inf \mathbb{B}}\) jest ograniczeniem dolnym obydwu tych zbiorów, a zatem jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \mathbb A \cup \mathbb B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \inf}\) to największe z ograniczeń dolnych, więc zachodzi

\(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) \ge M}\) dla dowolnego ograniczenia górnego \(\displaystyle{ M}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb A \cup \mathbb B}\)

a więc w szczególności

\(\displaystyle{ \inf \left( \mathbb A \cup \mathbb B \right) \ge \min \left\{ \inf \mathbb A, \inf \mathbb B \right \}}\)


Osobiście przychylam się do innego dowodu, bo chyba jest bardziej przejrzysty: należy najpierw pokazać, że \(\displaystyle{ \min \left\{ \inf \mathbb A, \inf \mathbb B \right \}}\) jest jakimś ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \mathbb A \cup \mathbb B}\) a następnie, że nie ma lepszego. Zachęcam do samodzielnego dopracowania.

Co do podpunktów (c), (d): rozważmy sobie przykład

\(\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \mathbb A_t = \{ -1, t, 1 \} \\ \\
\mathbb B_t = \{-2, t, 2 \} \end{array} \right\} \text{dla } t \in (-1, 1)}\)

Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in (-1, 1)}\) będzie

\(\displaystyle{ \sup \mathbb A_t = 1, \quad \inf \mathbb A_t = -1 \\ \\
\sup \mathbb B_t = 2, \quad \inf \mathbb B_t=-2}\)

oraz

\(\displaystyle{ \sup \mathbb A \cap \mathbb B = \sup \{ t \} = t \\
\inf \mathbb A \cap \mathbb B = \inf \{ t \} = t}\)

a więc supremum czy infimum przekroju kompletnie nie zależy od supremów/infimów poszczególnych zbiorów.

[mrotka]

Dziękuję bardzo za pomoc