funkcja sumy i roznicy

[Shusheiri]

Znajdź takie funkcje f, że \(\displaystyle{ f(x+y) \cdot f(x-y)=1}\) jest spełnione dla dowolnych liczb naturalnych x i y

[szw1710]

Jaka jest dziedzina i zbiór wartości postulowanej funkcji? Wbrew pozorom to ważne, aby wiedzieć jakie podstawienia są dozwolone. Np. mogę położyć \(\displaystyle{ x=y}\) i od razu mamy \(\displaystyle{ f(2n)f(0)=1}\) i pytanie czy zero leży w dziedzinie naszej funkcji.

[norwimaj]

Skoro równanie ma być spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\) naturalnych, to \(\displaystyle{ 0}\) musi należeć do dziedziny \(\displaystyle{ f}\).

[szw1710]

Nie bardzo. Naturalność zera jest, jak wiemy, kwestią umowy. Ale oprócz tego mamy pytanie, czy w roli \(\displaystyle{ y}\) można wziąć np. \(\displaystyle{ -1}\), tj. czy liczby całkowite leżą w dziedzinie itp. Kwestia dziedziny i zbioru wartości jest ważna dla postaci rozwiązania. Każde równanie funkcyjne rozważamy w konkretnej dziedzinie z konkretną przeciwdziedziną.

[norwimaj]

Znajdź takie funkcje f, że \(\displaystyle{ f(x+y) \cdot f(x-y)=1}\) jest spełnione dla dowolnych liczb naturalnych x i y

Naturalność zera jest kwestią umowną, ale na przykład naturalność jedynki jest bezdyskusyjna, więc możemy przyjąć \(\displaystyle{ x=y=1}\). Stąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ f(2)f(0)=1}\),
z której w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ f(0)}\) istnienie.

Kwestia naturalności zera chyba nie ma znaczenia w tym zadaniu.

[szw1710]

Znaczenie ma przynależność zera do dziedziny, ma to wpływ na stosowalność pewnych metod rozwiązywania równań funkcyjnych. Z tego, co piszesz, nie wynika, że \(\displaystyle{ f(0)}\) istnieje. A jesli będziemy postulować \(\displaystyle{ f:\{1,2,3,\dots\}\to \mathbb{R}}\)? Wtedy zapis \(\displaystyle{ f(0)}\) jest nieuprawniony. To, że można napisać \(\displaystyle{ f(0)}\) nie oznacza, że ten obiekt istnieje. Papier jest cierpliwy.

[norwimaj]

Jeśli \(\displaystyle{ f(0)}\) nie istnieje, to nieprawdą jest, że równanie \(\displaystyle{ f(0)f(2)=1}\) jest spełnione. Również wtedy nieprawdą jest, że nierówność \(\displaystyle{ f(0)f(2)\neq1}\) jest spełniona. Po prostu obie te rzeczy nie mają sensu, więc tym bardziej nie są prawdziwymi zdaniami.

[szw1710]

Czy zatem uprawnione jest podstawienie \(\displaystyle{ x=y=1}\)? Bądź po prostu \(\displaystyle{ x=y}\)? To zależy, czy zero leży w dziedzinie czy nie. Zero należy do dziedziny: można wstawić i otrzymamy \(\displaystyle{ f(2x)f(0)=1}\), skąd od razu \(\displaystyle{ f(2x)=\frac{1}{f(0)}}\) i mamy wartości naszej funkcji na liczbach parzystych. Jeśli zero nie należy do dziedziny, nie można tego napisać.

[norwimaj]

Zero należy do dziedziny: można wstawić i otrzymamy \(\displaystyle{ f(2x)f(0)=1}\),

Zwracam uwagę, że w poleceniu jest napisane, że równość ma zachodzić dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y}\) naturalnych.

A spieramy się o coś, co nie ma specjalnego znaczenia dla metody rozwiązania. W roli zera równie dobrze może występować dwójka.

\(\displaystyle{ f((n+2)+n)f((n+2)-n)=1}\),

skąd wynika, że \(\displaystyle{ f(4)=f(6)=f(8)=\ldots=\frac{1}{f(2)}}\).

Dodatkowo \(\displaystyle{ f(5+1)f(5-1)=1}\), co wobec równości \(\displaystyle{ f(4)=f(6)}\) daje \(\displaystyle{ f(4)=\pm1}\). Na zbiorze \(\displaystyle{ \{2,4,6,\ldots\}}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest stale równa \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\).

Takie samo rozumowanie można przeprowadzić dla liczb nieparzystych.

[szw1710]

Dobrze: skoro dla dowolnych liczb naturalnych, to można w różnicy zamienić rolami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), więc konieczne jest dopuszczenie w dziedzinie wszystkich liczb całkowitych, jeśli to wszystko ma mieć sens.

Zero to był tylko przykład. Podtrzymuję opinię o stosowalności metod. W innym wariancie (nierównoważnym) zadanie można sformułować tak: wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x+y)f(x-y)=1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{N}}\) takich, że \(\displaystyle{ x>y}\). Wtedy umawiając się, że zero nie jest liczbą naturalną, nie możemy napisać \(\displaystyle{ f(0)}\). Ani też wstawić \(\displaystyle{ x=y}\).

PS. Muszę iść spać. Jutro idę na cały dzień do pracy. Do dyskusji wrócimy jutro wieczorem. Miłego czwartku.