Nierówność z funkcją trygonometryczną i logarytmiczną

[aerow]

Witam
Mam do rozwiązania nierówność z którą nie mogę sobie poradzić

\(\displaystyle{ \ \log _ { \frac{2}{3} } \left[ \sin \left( 2x \right) +\sin ^{2} \left( 2x \right) + \sin ^{3} \left( 2x \right) +\ldots \right] >0 \\
\ \log _ { \frac{2}{3} } \left[ \sin \left( 2x \right) +\sin ^{2} \left( 2x \right) + \sin ^{3} \left( 2x \right) +\ldots \right] >\ \log _ { \frac{2}{3} } 1 \\
\sin \left( 2x \right) +\sin ^{2} \left( 2x \right) + \sin ^{3} \left( 2x \right) +\ldots<1}\)

Myślę, że lewa część nierówności jest sumą n wyrazów ciągu i \(\displaystyle{ n: n {\to \infty }}\) wyrazów ciągu...
Ale co z tym robić nie mam pojęcia...
Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję

[Jan Kraszewski]

Skorzystaj ze wzoru na sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego.

JK

[aerow]

Dziękuję serdecznie