Rysunek zbioru (z kwantyfikatorami)

[Jan Kraszewski]

Ponieważ mamy kwantyfikator "dla każdego \(\displaystyle{ w}\)". Czyli para \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle}\) musi należeć do prostokąta dla \(\displaystyle{ w=|z|+\frac12}\) i do prostokąta dla \(\displaystyle{ w=|z|-\frac12}\), czyli do przekroju tych prostokątów. Innymi słowy, warunek

\(\displaystyle{ (\forall w) \left( |w-|z||=\frac{1}{2} \Rightarrow y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)}\)

jest równoważny warunkowi

\(\displaystyle{ \left( \forall w\in\left\{ |z|-\frac12, |z|+\frac12\right\} \right) \left( y \in \left[ w-\frac{1}{2};w+\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right) ,}\)

który z kolei jest równoważny warunkowi

\(\displaystyle{ \left( y \in \left[\left( |z|-\frac12\right) -\frac{1}{2};\left( |z|-\frac12\right) +\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right) \land}\)

\(\displaystyle{ \land\left( y \in \left[ \left( |z|+\frac12\right) -\frac{1}{2};\left( |z|+\frac12\right) +\frac{1}{2}\right] \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] \right)}\)

i dalej równoważny warunkowi

\(\displaystyle{ y \in \left[|z|-1;|z|\right] \land y \in \left[ |z|;|z|+1\right]\wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]}\)

co ostatecznie jest równoważne warunkowi

\(\displaystyle{ y \in \{|z|\} \wedge x \in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right] ,}\)

czyli \(\displaystyle{ \langle x,y\rangle\in \left[ z-\frac{1}{2};z+\frac{1}{2}\right]\times\{|z|\} .}\)

JK

[mrotka]

Dziękuję bardzo za wyjaśnienie